2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题

思路

共轭满足 $z\overline{z}=|z{|}^2$；令 $z=a+bi$ 即可展开验证。配方换元把二次递推变成反复平方后，第 $r$ 次平方对应原量的 $2^r$ 次幂，需核对下标起点。

想法从哪来：遇到共轭与原复数相乘，先尝试直接计算小项，很快会看到分母急剧变大；逐次计算到大下标显然不合适。更值得利用的是 $z\overline{z}$ 为实数，先把递推重排成共轭项加上模平方乘虚数单位，实部与虚部的角色就分开了。 实部不变后，虚部只剩一个二次递推。先试减去一个常数，目标是把“二次式减这个常数”凑成完全平方；一次项的系数会指明该减多少。新的量每步平方，所以指数每步翻倍，而非每步加一。首个新量为负，第一次平方之后才恒正，因此写通式时必须区分首项与后续项，再把虚部和平移常数还原。

把递推拆成实部、虚部：$z_{n+1}=\overline{z_n}(1+z_{n}i)$ 展开后实部恒为常数，虚部成为只含 $b_n$ 的递推。