2010 年中科大少年班初试 · 第 13 题

解答

设底面内切圆半径为 $r>0$、高为 $h>0$、侧面斜高为 $l=\sqrt{r^2+h^2}$，令 $K=n\tan (\pi /n)$。则底面积为 $K{r}^2$，表面积 $S=Kr(r+l)$，体积 $V=K{r}^{2}h/3$。令 $q=l/r>1$，消去尺度得 $S^3=9V^{2}K(q+1{)}^2/(q-1)$。该比式的导数为 $(q+1)(q-3)/(q-1{)}^2$，故唯一极小形状为 $\boxed{l=3r}$，等价于 $h=2\sqrt{2}r$；这就是不依赖于边数的充分必要条件。对四棱锥，$K=4,V=\sqrt{2}/3$，得到 $S^3\ge 64$，所以第一问最小值 $\boxed{4}$。