同一骨架 2022 年新疆预赛 · P006901
两题都把难以直接计算的高次幂，交给一个固定低次代数关系反复降次。对所有根求幂和与对二次根式的两个系数作模递推，都会产生短线性递推；初值及是否取模必须另外说明。
前题的根方程控制幂和，后题的二次根式关系控制系数对，不能把两者的周期或数值直接共用。
培玉 · 一试
2025 年贵州预赛
三角函数七次幂和
F3填空题多项式
计算：
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
三个角的三倍余弦都等于 ，因此把它们的二倍余弦看成同一个三次方程的三根， 用牛顿和递推计算七次幂和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令
由 ，且这三个角的三倍 余弦均为 ，可知 是
的三个根。记 。由方程得
其中 。依次算得
所以原式为
复核
三个角模 恰对应三次方程的三个不同实根；递推中的初值也与根和、平方和 一致，因此没有漏根或重复计数。
方法总结
多个特殊角的高次幂和若难以逐项展开，可先找它们共同满足的低次多项式，再让幂和 继承同一递推关系。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是认出三个二倍余弦为同一三次方程的全部根；一旦构造 x³-3x-1，七次幂和通过低阶幂和递推常规算出。
联系 · 2 条
同一骨架 2013 年河南预赛 第 11 题 · P009700
若几个数共同满足一个低次多项式，就让各根的高次幂继承同一个递推，再整体相加。这样可用少量初始幂和代替分别求根或反复展开高次三角式。
前题先从已知幂和恢复两个根的和、积，远项还要记录模运算的完整状态；后题先用倍角关系证明三个角值确是同一方程的全部不同实根，再计算有限阶幂和。
已记下，谢谢！