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复数综合

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

复数综合题常把代数根、平面轨迹和模长不等式放在一起。先判断哪个信息最能减少自由度：实虚分离、共轭根、整体相位或圆盘参数。最值不仅要有界，还要让原复数同时实现所有取等方向；平方、约分和参数化都须保留原分支。

1. 先修与破题直觉：先算根 $1 + i, 1 - i$ 的差及其模，再比较差的平方与判别式。复数平方、平方的模和模的平方要分别读。

2. 核心条件辨析：实非负平方和为零可逐项锁定条件；只有全部约束也在同一旋转下保持时，才能整体旋转来简化复变量。

3. 典型误区对比：对照下方判别式与整体相位两组卡，做概念自测；每个候选分支都回代，不能因目标相同就擅删一个变量解。

4. 方法迁移带练：把 $∣ z ∣^{2} = 5, Re z = 1$ 改成 $∣ z ∣^{2} = 10, Re z = 1$ ，有 $z = 1 \pm 3 i$ ；两支均满足 $z + 10/ z = 2$ 。

5. 分级真题实战：先练“分离实虚与共轭等式”中的零分母和平方和，再练“模长界、竞争下界与可达构造”；挑战时将每条估计的取等方向放回同一复数组核兼容。

先修（培玉高中数学）：复数的概念复数的四则运算复数的三角表示（选学）平面向量的运算

知识要点

共轭乘积同时记录投影与方向

若 $u = a + bi, v = c + d i$ ，则 $\overline{u} v = (a c + b d) + i (a d - b c)$ 。实部是平面点积，虚部的正负记录有向面积；二者平方和等于 $∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2}$ 。例： $u = 1 + 2 i, v = 3 - i$ 时， $\overline{u} v = 1 - 7 i$ ，且 $1^{2} + 7^{2} = 5 \cdot 10$ 。已知长度后开方求虚部，还须由方向或变量符号决定正负。

分式为实数可与自身共轭比较

一个复数 $W$ 为实数等价于 $W = \overline{W}$ ；对分式先保留分母非零，再交叉相乘。例： $z = (1 + i 3) /2$ 满足 $1 + z^{2} = z$ ，故 $z / (1 + z^{2}) = 1$ ； $z = i$ 却使同一分式无定义。若推导出现 $z - \overline{z}$ ，只有已知 $z$ 非实数时才能约去，不能把实数分支悄悄删掉。

共轭根、根差与判别式各有用途

实系数多项式的非实根成共轭对，非实性要求虚部不为零。例： $(t + 2) (t^{2} - 2 t + 2)$ 的根为 $- 2, 1 + i, 1 - i$ ，根和为零。首一二次方程另有 $(α - β)^{2} = Δ$ ；根为 $1 \pm i$ 时， $Δ = - 4$ ，根差模为 $2$ ，而 $∣Δ∣ = 4$ 。不要把根差模与判别式的模直接相等。

模的不等式还要逐次验证方向

三角与反三角不等式给 $∣ u ∣ - ∣ v ∣ \leq ∣ u - v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ 。例： $∣ z ∣ = 3$ 时， $∣ z - 1/ z ∣$ 介于 $8/3$ 与 $10/3$ ；实数 $z = 3$ 取下界，纯虚数 $z = 3 i$ 取上界。不同极值可由不同输入达到，但一串估计若用于同一个取等构造，所有方向条件必须同时满足。

整体旋转后再分实虚向量

只有约束和目标都保持时，才可给全部复变量乘同一个单位复数以简化方向。写 $z_{j} = u_{j} + i v_{j}$ ，则 $\sum z_{j}^{2} = U - V + 2 i \sum u_{j} v_{j}$ ，其中 $U = \sum u_{j}^{2}, V = \sum v_{j}^{2}$ ；同时 $\sum ∣ z_{j} ∣^{2} = U + V$ 。例：两个数 $1 + i, 1 - i$ 给 $U = V = 2$ 、实虚向量点积为零，故平方和为零、模平方和为 $4$ 。

平方成曲线后，原符号仍需回查

写 $z = x + i y$ 后， $Re (z^{2}) = x^{2} - y^{2}$ ，而 $∣ z^{2} ∣ = x^{2} + y^{2}$ 。例： $Re (z^{2}) = 1$ 且 $Re z > 0$ 给双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的右支，其焦点为 $(\pm 2, 0)$ ；点 $(2, 1)$ 到两焦点的距离分别为 $3, 1$ 。若曲线来自根式平方，还须检查平方前非负条件是否在整条曲线上成立。

圆盘用中心和复参数表示

令 $m = (a + b) /2, d = (a - b) /2$ ，则 $∣2 z - a - b ∣ \leq ∣ a - b ∣$ 可写成 $z = m + u d, ∣ u ∣ \leq 1$ 。若 $d = 0$ ，原条件直接给 $z = m$ ，仍可选 $u = 0$ ，无需除以零。例： $a = 1, b = - 1$ 时是单位圆盘； $a = b = 2 + i$ 时退化为单点。分式变换的像即使都落在某个圆上，也须查反变换禁值，不能擅称取遍全圆。

非负平方和能锁定多个条件

若若干实非负量之和为零，每一项都必须为零。例：写 $z = a + bi$ ，若 $(∣ z ∣^{2} - 5)^{2} + 4 (a - 1)^{2} = 0$ ，便得 $a = 1$ 、 $b = \pm 2$ 。两支都非零，且 $5/ z = \overline{z}$ ，所以 $z + 5/ z = 2$ 。变量未必唯一，目标仍可能在所有合法分支上一致；应把各分支回代，而非补条件选一个。

方法卡

复数条件求未知数：分开实部和虚部，保留每一个分支

把复数写成 $a + bi$ ，一个复数等于 $0$ 就是实部和虚部都等于 $0$ ，一个等式因此变成两个实数等式。乘积等于 $0$ 时先保留每一个分支，确认某个因子不为 $0$ 后才能约去。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

复数的基本记号

$i$ 满足 $i^{2} = - 1$ 。 $z = a + bi$ （ $a, b$ 是实数）中 $a$ 叫实部， $b$ 叫虚部。 $b = 0$ 时 $z$ 是实数； $b \neq = 0$ 时 $z$ 叫虚数； $a = 0$ 且 $b \neq = 0$ 时才叫纯虚数，所以 $1 + i$ 是虚数但不是纯虚数， $0$ 不是纯虚数。乘法按多项式展开： $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ 。例如 $(1 + 2 i) (3 - i) = 3 - i + 6 i - 2 i^{2} = 5 + 5 i$ 。

为什么实部虚部能分开

设 $a, b$ 是实数，若 $a + bi = 0$ 且 $b \neq = 0$ ，则 $i = - \frac{a}{b}$ 是实数，但实数的平方不会是 $- 1$ ，矛盾。所以 $b = 0$ ，再得 $a = 0$ 。因此 $a + bi = c + d i$ 等价于 $a = c$ 且 $b = d$ 。例如 $(x - 1) + (y + 2) i = 0$ （ $x, y$ 为实数）就给出 $x = 1, y = - 2$ 。注意这里 $a, b$ 必须是实数，否则不能分开： $1 + i \cdot i = 0$ ，但 $1 \neq = 0$ 。

共轭和模

$z = a + bi$ 的共轭是 $\overline{z} = a - bi$ ，模是 $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 。它们满足 $z \overline{z} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ ， $z + \overline{z} = 2 a$ ， $z - \overline{z} = 2 bi$ 。所以 $z$ 是实数等价于 $z = \overline{z}$ 。例如 $z = 3 - 4 i$ ： $\overline{z} = 3 + 4 i$ ， $z \overline{z} = 9 + 16 = 25$ ， $∣ z ∣ = 5$ 。

分式：乘分母的共轭

分式的分母不能为 $0$ ，所以先记下禁止的值。上下同乘分母的共轭，分母就变成正实数，分式的实部、虚部只要看分子。例如 $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{1 - i}{2}$ 。一个分式是实数，等价于分母不为 $0$ 且乘开后分子的虚部为 $0$ 。

先看一道例题

例 1：复系数方程有实根

已知 $m$ 是实数，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (m + i) x + 2 + i = 0$ 有实根。求 $m$ 和这个实根。

怎么看出来：

方程系数含 $i$ ，判别式这时不能判断根是不是实数。 $x$ 是实数，所以直接按含不含 $i$ 分开。

解：

设实根为 $x$ 。整理得 $(x^{2} + m x + 2) + (x + 1) i = 0$ 。括号里都是实数，所以 $x + 1 = 0$ ，且 $x^{2} + m x + 2 = 0$ 。第一式得 $x = - 1$ ，代入第二式得 $1 - m + 2 = 0$ ，所以 $m = 3$ 。检查： $(- 1)^{2} + (3 + i) (- 1) + 2 + i = 1 - 3 - i + 2 + i = 0$ ，成立。

答案：

$m = 3$ ，实根是 $x = - 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
系数含 $i$ 的方程，题目说有实根	设实根为 $x$ ，它是实数，实部和虚部的两个等式都要成立
含 $z, \overline{z}$ 或 $z^{2}$ 的式子要是实数	设 $z = a + bi$ ，令虚部为 $0$ ，分解后每一支都保留
分式是实数，或分式是纯虚数	先记下分母不为 $0$ ，再乘分母的共轭；纯虚数还要求虚部不为 $0$
含 $z$ 的分式要是实数， $z$ 是虚数	写 $w = \overline{w}$ 交叉相乘，提出 $z - \overline{z}$ 约去（见进阶“共轭等式”）
等式里都是模的平方或实部，展开后像能配方	移到一边，配成实数的平方和（见进阶“平方和”）
$z_{n + 1}$ 由 $z_{n}$ 和 $\overline{z_{n}}$ 给出	拆成 $a_{n}, b_{n}$ 两个实数列（见进阶“复数递推”）

三、怎么用

列出禁止的值。例如解方程 $z^{2} = \overline{z}$ 。这里没有分母， $z$ 也没有其他限制，所以不排除任何值。
设 $z = a + bi$ （ $a, b$ 为实数），两边展开。左边 $(a^{2} - b^{2}) + 2 abi$ ，右边 $a - bi$ 。
比较虚部，分解后保留每一支。 $2 ab = - b$ ，即 $b (2 a + 1) = 0$ ，所以 $b = 0$ 或 $a = - \frac{1}{2}$ 。
比较实部 $a^{2} - b^{2} = a$ ，每一支分别解。 $b = 0$ 时 $a^{2} = a$ ，得 $a = 0$ 或 $a = 1$ 。 $a = - \frac{1}{2}$ 时 $\frac{1}{4} - b^{2} = - \frac{1}{2}$ ，得 $b = \pm \frac{3}{2}$ 。
回代原式检查。 $z = 0$ 时 $0 = 0$ ， $z = 1$ 时 $1 = 1$ 。 $z = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 时 $z^{2} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i = \overline{z}$ ；虚部取负号时两边各自取共轭，也相等。一共 $4$ 个解。

四、再做一道

例 2：分式为实数，注意分母

已知 $∣ z ∣ = 1$ ，且 $\frac{z + i}{z - 1}$ 是实数。求 $z$ 。

怎么看出来：

有分母，所以先记 $z \neq = 1$ 。分式是实数，乘分母的共轭后只看分子的虚部。

解：

分母不为 $0$ ，所以 $z \neq = 1$ 。设 $z = a + bi$ 。分母的共轭是 $(a - 1) - bi$ ，分子乘开是 $[a + (b + 1) i] [(a - 1) - bi]$ ，其虚部是 $(b + 1) (a - 1) - ab = a - b - 1$ 。分式是实数，所以 $a - b - 1 = 0$ ，即 $b = a - 1$ 。代入 $a^{2} + b^{2} = 1$ 得 $a^{2} + (a - 1)^{2} = 1$ ，即 $2 a (a - 1) = 0$ ，所以 $a = 0$ 或 $a = 1$ 。 $a = 1$ 时 $b = 0$ ， $z = 1$ ，分母为 $0$ ，舍去。 $a = 0$ 时 $b = - 1$ ， $z = - i$ 。检查： $\frac{- i + i}{- i - 1} = 0$ ，是实数，且 $∣ - i ∣ = 1$ 。

答案：

$z = - i$ 。

五、容易错在哪

实部虚部分开的前提是分开后的量都是实数。未知数本身是复数时，要先写成 $a + bi$ 。
$b (2 a - 1) = 0$ 不能直接约去 $b$ ，除非已知 $b \neq = 0$ 。虚数才保证 $b \neq = 0$ 。
虚数不等于纯虚数。虚数只要求虚部不为 $0$ ，纯虚数还要求实部为 $0$ 。
平方和为零要两项都用上，只用一项会多出不合要求的解；这个结论也只对实数成立。
分式乘开或交叉相乘后，新式子不再体现原来的分母，解出的值要回到原分式看分母是否为 $0$ 。

进阶：共轭等式 · 先修：复数乘除法

共轭等式：不拆实部虚部也能化简

共轭的运算规则是 $\overline{u + v} = \overline{u} + \overline{v}$ ， $\overline{uv} = \overline{u} \overline{v}$ ， $\overline{(\frac{u}{v})} = \frac{u}{v}$ （ $v \neq = 0$ ）。可以从定义展开验证。要说 $w$ 是实数，就写 $w = \overline{w}$ ，再把 $z - \overline{z}$ 提出来。 $z$ 是虚数时 $z - \overline{z} = 2 bi \neq = 0$ ，才能约去；如果题目没说是虚数， $z = \overline{z}$ 这一支也要保留。

例 3：共轭等式求模

已知 $z$ 是虚数，且 $z + \frac{4}{z}$ 是实数。求 $∣ z ∣$ 。

怎么看出来：

分式是实数，又知 $z$ 是虚数，写成 $w = \overline{w}$ 后能提出 $z - \overline{z}$ 并约去。

解：

$z$ 是虚数，所以 $z \neq = 0$ ， $z \neq = \overline{z}$ 。式子是实数，所以 $z + \frac{4}{z} = \overline{z} + \frac{4}{z}$ 。移项： $(z - \overline{z}) + 4 \cdot \frac{z - z}{z z} = 0$ ，提公因式得 $(z - \overline{z}) (1 - \frac{4}{∣ z ∣ ^{2}}) = 0$ 。因为 $z - \overline{z} \neq = 0$ ，所以 $∣ z ∣^{2} = 4$ ， $∣ z ∣ = 2$ 。反过来， $∣ z ∣ = 2$ 时 $\frac{4}{z} = \overline{z}$ ，式子等于 $z + \overline{z} = 2 a$ ，确实是实数。如果没有“虚数”这个条件， $z = 1$ 也满足（式子等于 $5$ ），但它的模是 $1$ ，所以这个条件不能省。

答案：

$∣ z ∣ = 2$ 。

进阶：平方和 · 先修：配方

平方和为零：两项都锁定

实数 $p, q$ 满足 $p^{2} + q^{2} = 0$ 时， $p = q = 0$ ，因为两个非负数的和为 $0$ 时每个都是 $0$ 。遇到含模的平方的等式，把 $∣ z - c ∣^{2}$ 按实部、虚部展开，再移项配方。这个结论只对实数成立， $1^{2} + i^{2} = 0$ 但 $1 \neq = 0$ 。得到后两项要都用上。

例 4：配成平方和

复数 $z$ 满足 $∣ z - 2 ∣^{2} + ∣ z - 2 i ∣^{2} = 4$ 。求 $z$ 。

怎么看出来：

模的平方都能写成实部、虚部的平方和。展开配方后， $a, b$ 各成一个平方，两个平方的和为 $0$ ，就同时定下 $a$ 和 $b$ 。

解：

设 $z = a + bi$ 。 $∣ z - 2 ∣^{2} = (a - 2)^{2} + b^{2}$ ， $∣ z - 2 i ∣^{2} = a^{2} + (b - 2)^{2}$ 。相加得 $2 a^{2} - 4 a + 2 b^{2} - 4 b + 8 = 4$ ，除以 $2$ 并移项： $a^{2} - 2 a + b^{2} - 2 b + 2 = 0$ ，即 $(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} = 0$ 。两项都是实数的平方，所以 $a = 1$ 且 $b = 1$ 。检查： $∣ - 1 + i ∣^{2} = 2$ ， $∣1 - i ∣^{2} = 2$ ，和为 $4$ 。

答案：

$z = 1 + i$ 。

进阶：复数递推 · 先修：数列的记号

数列递推：拆成实部和虚部两个数列

若 $z_{n + 1}$ 由 $z_{n}$ 给出，写 $z_{n} = a_{n} + b_{n} i$ ，比较实部和虚部，得到两个实数数列的递推。常常一个数列很简单，另一个再按它来算。

例 5：递推拆成两个实数列

$z_{1} = 0$ ， $z_{n + 1} = i \overline{z_{n}} + 1$ 。求 $z_{2026}$ 。

怎么看出来：

递推里有共轭，直接迭代不易看出规律。写 $z_{n} = a_{n} + b_{n} i$ 后，实部虚部的递推都很简单。

解：

$i (a_{n} - b_{n} i) + 1 = (b_{n} + 1) + a_{n} i$ ，所以 $a_{n + 1} = b_{n} + 1$ ， $b_{n + 1} = a_{n}$ 。于是 $a_{n + 2} = b_{n + 1} + 1 = a_{n} + 1$ ，隔一项增加 $1$ 。从 $a_{1} = 0, b_{1} = 0$ 得 $a_{2} = 1$ 。对偶数项 $n = 2 k$ ： $a_{2 k} = a_{2} + (k - 1) = k$ ； $b_{2 k} = a_{2 k - 1} = k - 1$ ，因为 $a_{2 k - 1} = a_{1} + (k - 1) = k - 1$ 。令 $k = 1013$ ，得 $a_{2026} = 1013$ ， $b_{2026} = 1012$ 。检查前几项： $z_{2} = 1$ ， $z_{3} = 1 + i$ ， $z_{4} = 2 + i$ ，符合 $z_{4}$ 的 $k = 2$ 。

答案：

$z_{2026} = 1013 + 1012 i$ 。

进阶：纯虚数与圆 · 先修：圆的方程

例 6：纯虚数条件与开端点

复数 $z$ 使 $\frac{z - 1}{z + 3}$ 是纯虚数，求 $∣ z ∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

纯虚数要求实部为 $0$ ，虚部不为 $0$ ，再加分母不为 $0$ 。这些排除的点会让范围的端点取不到。

解：

设 $z = a + bi$ ， $z \neq = - 3$ 。乘分母的共轭： $(a - 1 + bi) (a + 3 - bi) = (a^{2} + b^{2} + 2 a - 3) + 4 bi$ ，分母 $∣ z + 3 ∣^{2}$ 是正实数。纯虚数要求 $a^{2} + b^{2} + 2 a - 3 = 0$ 且 $4 b \neq = 0$ 。第一式即 $(a + 1)^{2} + b^{2} = 4$ ，是圆心 $(- 1, 0)$ 、半径 $2$ 的圆（以 $a, b$ 为坐标），圆上 $a$ 的范围是 $- 3 \leq a \leq 1$ 。 $b \neq = 0$ 去掉了 $a = - 3$ 和 $a = 1$ 两点（即 $z = - 3$ 和 $z = 1$ ，后者使分式为 $0$ ，不是纯虚数）。所以 $- 3 < a < 1$ ，且每个这样的 $a$ 都有对应的 $b \neq = 0$ 。 $∣ z ∣^{2} = a^{2} + b^{2} = 3 - 2 a$ ，它随 $a$ 变化，取遍 $1 < ∣ z ∣^{2} < 9$ 。检查： $z = - 1 + 2 i$ 时 $\frac{- 2 + 2 i}{2 + 2 i} = i$ ，是纯虚数， $∣ z ∣^{2} = 5 = 3 - 2 (- 1)$ ，成立。

答案：

$1 < ∣ z ∣ < 3$ 。

真题

按这个方法练 · 10 题

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由复数根的结构定系数和范围

实系数方程的虚根成对出现，再用根与系数的关系把系数写成根的实部和模。虚部不为零这个要求，常常让范围的端点取不到。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

虚根成对

虚根指虚部不为零的非实复根。若实系数多项式有根 $u + v i$ （ $u, v$ 为实数， $v \neq = 0$ ），那么 $u - v i$ 也是根。因为对实系数多项式 $f$ 有 $\overline{f (z)} = f (\overline{z})$ ， $f (z) = 0$ 时 $f (\overline{z}) = 0$ 。这一对根的和是 $2 u$ ，积是 $u^{2} + v^{2} = ∣ z ∣^{2}$ 。系数必须是实数才成立： $x - i = 0$ 的根 $i$ 就没有配对的 $- i$ 。

根与系数的关系

二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两根满足 $α + β = - b$ ， $α β = c$ 。三次方程 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 的三根满足 $p + q + r = - a$ ， $pq + q r + r p = b$ ， $pq r = - c$ 。这些都来自展开 $(x - p) (x - q) (x - r)$ ，首项系数为 $1$ 时才这样写，系数是复数时也成立。

判别式和虚根

实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有虚根，当且仅当 $b^{2} - 4 c < 0$ 。这时两根共轭，积 $c$ 就是模的平方。判别式等于零时是一个实数重根，所以范围题的端点常常要去掉。

先看一道例题

例 1：由一个虚根求系数

实数 $a, b$ 使方程 $x^{3} - 3 x^{2} + a x + b = 0$ 有根 $1 + 2 i$ 。求 $a, b$ 和第三个根。

怎么看出来：

实系数方程有虚根，共轭根也是根，这样三个根里只剩一个未知。

解：

另一根是 $1 - 2 i$ ，设第三根为 $r$ 。三根之和 $(1 + 2 i) + (1 - 2 i) + r = 3$ ，得 $r = 1$ 。两两乘积之和 $a = (1 + 2 i) (1 - 2 i) + r [(1 + 2 i) + (1 - 2 i)] = 5 + 2 = 7$ 。三根之积 $5 \cdot 1 = - b$ ，得 $b = - 5$ 。检查： $(x - 1) (x^{2} - 2 x + 5) = x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 5$ ，和原式一致。

答案：

$a = 7, b = - 5$ ，第三个根为 $1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
实系数方程，已知一个虚根	立刻写出共轭根，再用根与系数的关系
实系数方程的虚根有模的条件	设实部为参数，虚部不为零，所以实部的范围是开区间
实系数二次方程含参数，问虚根的模	判别式小于零定参数范围，模的平方等于常数项
出现 $∣ α - β ∣$ ，系数是复数	平方后等于判别式（见进阶“根差与有限根集”）
给出 $a + b + c, ab + b c + c a, ab c$	写出三次方程并分解（见进阶“根差与有限根集”）
系数或指数里出现 $\frac{- 1 \pm 3 i}{2}$	用 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ 和 $ω^{3} = 1$ 化简（见进阶“单位根”）

三、怎么用

确认系数是不是实数。例如 $x^{2} + b x + c = 0$ 的 $b, c$ 为实数，有根 $2 + 3 i$ 。
写出共轭根。另一根是 $2 - 3 i$ 。
用根与系数的关系。两根和为 $4$ ，所以 $b = - 4$ ；两根积为 $4 + 9 = 13$ ，所以 $c = 13$ 。
把根代回检查。 $(2 + 3 i)^{2} = - 5 + 12 i$ ， $- 5 + 12 i - 4 (2 + 3 i) + 13 = 0$ ，成立。
问范围时，再列出虚部不为零或判别式小于零的条件，检查端点。

四、再做一道

例 2：含参数方程的虚根的模

实数 $a$ 使方程 $x^{2} + a x + a + 3 = 0$ 有虚根 $z$ 。求 $∣ z ∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

实系数二次方程有虚根，由判别式定 $a$ 的范围；两虚根共轭，积就是模的平方。

解：

判别式 $a^{2} - 4 (a + 3) < 0$ ，即 $(a - 6) (a + 2) < 0$ ，得 $- 2 < a < 6$ 。两根共轭，积 $a + 3 = z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ ，所以 $1 < ∣ z ∣^{2} < 9$ ， $a$ 取遍这个区间时 $a + 3$ 取遍 $(1, 9)$ 。端点检查： $a = - 2$ 时方程为 $(x - 1)^{2} = 0$ ， $a = 6$ 时方程为 $(x + 3)^{2} = 0$ ，都是实数重根，不是虚根，所以端点要去掉。

答案：

$1 < ∣ z ∣ < 3$ 。

五、容易错在哪

虚根成对只对实系数方程成立，系数是复数时不能用。
固定模长并用实部参数化非实根时，要排除虚部为零的端点；一般的非实根条件并不自动给出某个实部开区间。
$∣ α - β ∣$ 和它的平方不要混： $b^{2} - 4 c$ 的模是 $∣ α - β ∣^{2}$ 。
目标不对称时，有限个根的每种排列都要考虑，不能只选一种。
只求出参数的必要条件还不够，要说明范围内的每个值都对应一个真实的方程。

进阶：根差与有限根集

根差的平方就是判别式

$(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = b^{2} - 4 c$ ，系数是复数时也成立。所以 $∣ α - β ∣$ 给定时， $b^{2} - 4 c$ 的模是 $∣ α - β ∣^{2}$ ，注意平方不要漏。每个非零复数都有平方根，所以只要 $b^{2} - 4 c$ 能取到某个复数，就存在对应的两根；这让系数的方向可以自由安排。

对称式确定根：先写多项式

已知 $a + b + c$ 、 $ab + b c + c a$ 、 $ab c$ ， $a, b, c$ 就是一个确定的三次方程的三个根。分解它就知道这三个数是什么，只是不知道谁对应谁。目标对称时，排列不影响结果；目标不对称时，每种排列都要考虑。已知幂和时，先用 $ab + b c + c a = \frac{( a + b + c ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )}{2}$ 这类关系还原。

例 3：由根差和模求系数的模

复系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两根满足 $∣ α ∣ = ∣ β ∣ = 1$ ， $∣ α - β ∣ = 1$ 。求 $∣ b ∣, ∣ c ∣$ 和 $∣ b^{2} - 4 c ∣$ 。

怎么看出来：

系数是复数，不能用共轭配对，但根与系数的关系和“根差平方等于判别式”仍然成立。

解：

$∣ c ∣ = ∣ α β ∣ = 1$ 。由 $∣ α + β ∣^{2} + ∣ α - β ∣^{2} = 2∣ α ∣^{2} + 2∣ β ∣^{2}$ （用坐标展开可得）， $∣ α + β ∣^{2} = 4 - 1 = 3$ ，所以 $∣ b ∣ = 3$ 。又 $b^{2} - 4 c = (α - β)^{2}$ ，模为 $1$ 。检查：取 $α = 1, β = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ，确实满足条件， $∣ α + β ∣ = 3$ 。

答案：

$∣ b ∣ = 3, ∣ c ∣ = 1, ∣ b^{2} - 4 c ∣ = 1$ 。

例 4：对称式确定三个数

复数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 2, ab + b c + c a = 2, ab c = 1$ 。求 $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ 和 $∣ a - b ∣ + ∣ b - c ∣ + ∣ c - a ∣$ 。

怎么看出来：

三个对称式都给了， $a, b, c$ 是一个确定的三次方程的根。两个目标都对称，排列不影响。

解：

$a, b, c$ 是 $t^{3} - 2 t^{2} + 2 t - 1 = (t - 1) (t^{2} - t + 1) = 0$ 的根，即 $1$ 和 $t_{\pm} = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ 。由 $t^{3} + 1 = (t + 1) (t^{2} - t + 1)$ ， $t_{\pm}^{3} = - 1$ ，所以 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 1 - 1 - 1 = - 1$ 。距离： $∣1 - t_{\pm} ∣ = \frac{1}{2} \mp \frac{3}{2} i = 1$ ， $∣ t_{+} - t_{-} ∣ = 3$ 。三段相加。

答案：

$a^{3} + b^{3} + c^{3} = - 1$ ， $∣ a - b ∣ + ∣ b - c ∣ + ∣ c - a ∣ = 2 + 3$ 。

进阶：单位根

模为 1 的根和单位根

$∣ z ∣ = 1$ 时 $\overline{z} = \frac{1}{z}$ ，且 $∣ z + 1 ∣^{2} = 2 + 2 Re z$ 。方程 $x^{3} = 1$ 的根是 $1, ω, ω^{2}$ ，其中 $ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ 。由 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 得 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ ， $ω^{3} = 1$ ，指数可以按除以 $3$ 的余数化简。一般地， $x^{n} - 1$ 可以分解成 $x$ 减去全部 $n$ 个 $n$ 次单位根的乘积，比较两边就能处理单位根的乘积或和。

例 5：单位根的幂

设 $ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ 。在 $1 \leq n \leq 20$ 中，有多少个正整数 $n$ 使 $(1 + ω)^{n} = 1$ ？

怎么看出来：

$ω^{2} + ω + 1 = 0$ 能把 $1 + ω$ 化成 $ω$ 的幂，再找它的幂何时回到 $1$ 。

解：

$t = 1 + ω = - ω^{2}$ 。依次算： $t^{2} = ω^{4} = ω$ ， $t^{3} = - ω^{3} = - 1$ ， $t^{4} = - t = ω^{2}$ ， $t^{5} = - t^{2} = - ω$ ， $t^{6} = 1$ 。前五个都不等于 $1$ ，所以 $t^{n} = 1$ 当且仅当 $6 ∣ n$ 。 $1 \leq n \leq 20$ 中有 $6, 12, 18$ 。

答案：

$3$ 个。

真题

按这个方法练 · 8 题

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模就是距离：把复数条件看成平面图形

$∣ z - a ∣$ 是点 $z$ 到点 $a$ 的距离。把条件翻译成到定点的距离，就知道 $z$ 在哪条线上。平方前后要留意符号，最后把结果代回原条件。

完整讲解 · 例题 · 可练 6 题

一、是什么

$∣ z - a ∣$ 是距离

$z = x + y i$ 对应点 $(x, y)$ ， $∣ z - a ∣$ 是 $z$ 到 $a$ 的距离，这里 $i^{2} = - 1$ ， $∣ x + y i ∣ = x^{2} + y^{2}$ 。注意 $∣ z + 2∣ = ∣ z - (- 2) ∣$ ，是到点 $- 2$ 的距离。 $∣ z - (1 + i) ∣ = 2$ 是以 $1 + i$ 为圆心、半径 $2$ 的圆。

到两点距离相等：中垂线

$∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ （ $a \neq = b$ ）表示到两点距离相等，是线段的垂直平分线。写成坐标平方后， $x^{2}, y^{2}$ 会消掉，剩一次方程。例如 $∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣$ 平方后得 $x = 0$ ，就是虚轴。

距离比：平方后整理

$∣ z - a ∣ = k ∣ z - b ∣$ （ $a \neq = b$ ， $k > 0$ ， $k \neq = 1$ ）平方后 $x^{2}, y^{2}$ 的系数不为零且相同，配方得到一个圆。 $k = 1$ 时就是上面的直线。

点到圆的远近

$z$ 在圆心为 $c$ 、半径为 $r$ 的圆上， $∣ z - c ∣ = r$ 。由三角不等式， $∣ c - a ∣ - r \leq ∣ z - a ∣ \leq ∣ c - a ∣ + r$ ，其中 $a$ 是任一定点。两个等号都能取到，分别在直线 $c a$ 与圆的两个交点处。 $a = c$ 时距离恒为 $r$ 。

先看一道例题

例 1：中垂线上的最小距离

复数 $z$ 满足 $∣ z - 2 i ∣ = ∣ z + 2∣$ 。求 $∣ z - 1∣$ 的最小值，并求此时的 $z$ 。

怎么看出来：

到 $2 i$ 和 $- 2$ 距离相等，是垂直平分线。把它写成坐标，目标就变成一元二次函数。

解：

设 $z = x + y i$ ，平方： $x^{2} + (y - 2)^{2} = (x + 2)^{2} + y^{2}$ ，化简得 $y = - x$ 。于是 $∣ z - 1 ∣^{2} = (x - 1)^{2} + x^{2} = 2 x^{2} - 2 x + 1 = 2 (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}$ 。当 $x = \frac{1}{2}$ 时，模的平方最小，为 $\frac{1}{2}$ ，故模的最小值为 $\frac{2}{2}$ ，此时 $z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ 。检查： $\frac{1}{2} - \frac{5}{2} i = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} i$ ，条件成立。

答案：

最小值为 $\frac{2}{2}$ ，此时 $z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$	垂直平分线，写成坐标得一次方程
$∣ z - a ∣ = k ∣ z - b ∣$ ， $k \neq = 1$	平方配方得圆
$z$ 在圆上，求到某点距离的最值	用圆心和半径，距离在 $∣ c - a ∣ - r$ 与 $∣ c - a ∣ + r$ 之间
$∣ z + c ∣ - ∣ z - c ∣$ 为常数，或出现 $Re (z^{2})$	想到双曲线（见进阶“双曲线与反射”）
$z$ 限制在实轴上，求两段距离之和	反射一个点，把折线拉直（见进阶“双曲线与反射”）

三、怎么用

把每个模写成到定点的距离，注意 $∣ z + 2∣$ 的定点是 $- 2$ 。例如 $∣ z - 3∣ = 2∣ z ∣$ ，定点是 $3$ 和 $0$ 。
设 $z = x + y i$ ，平方去根号。 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2}$ 。
整理配方，认出图形。 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ ，即 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 4$ ，圆心 $- 1$ ，半径 $2$ 。
用图形回答问题。到原点的距离 $∣ z ∣$ ：圆心到原点距离 $1$ ，所以 $∣ z ∣$ 在 $2 - 1 = 1$ 和 $2 + 1 = 3$ 之间。
代回原条件检查。 $z = 1$ ： $∣1 - 3∣ = 2 = 2 \cdot 1$ ； $z = - 3$ ： $∣ - 6∣ = 6 = 2 \cdot 3$ 。

四、再做一道

例 2：距离比给出圆

复数 $z$ 满足 $∣ z - 3∣ = 2∣ z ∣$ 。求 $∣ z ∣$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

距离比 $k = 2 \neq = 1$ ，平方后得到圆，再求圆上的点到原点的距离。

解：

设 $z = x + y i$ ，平方得 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 4 (x^{2} + y^{2})$ ，整理为 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 4$ ，即 $∣ z + 1∣ = 2$ 。由三角不等式， $∣ z ∣ \leq ∣ z + 1∣ + ∣ - 1∣ = 3$ ， $∣ z ∣ \geq ∣ z + 1∣ - ∣ - 1∣ = 1$ 。 $z = - 3$ 时 $∣ z ∣ = 3$ ，且 $∣ - 3 - 3∣ = 6 = 2 \cdot 3$ ； $z = 1$ 时 $∣ z ∣ = 1$ ，且 $∣1 - 3∣ = 2 = 2 \cdot 1$ 。两个端点都满足原条件。

答案：

最大值 $3$ ，最小值 $1$ 。

五、容易错在哪

$∣ z + 2∣$ 是到 $- 2$ 的距离，不是到 $2$ 的距离。
平方之后得到的整条曲线不一定都满足原条件，要回查符号。距离差的方程只对应一支。
用了焦点差之后，符号跟着分支走，左支和右支的差相反。
共轭反射时，只能在点确实在实轴上时使用 $∣ z - a ∣ = ∣ z - \overline{a} ∣$ ；一般的点没有这个等式。
三角不等式取等要看共线和点的前后顺序，不只是共线。

进阶：双曲线与反射 · 先修：圆锥曲线名称

到两点距离的差：双曲线的一支

设 $c > a > 0$ ， $∣ z + c ∣ - ∣ z - c ∣ = 2 a$ 表示双曲线的右支 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{c ^{2} - a ^{2}} = 1$ ， $x \geq a$ 。差的符号决定是哪一支。 $2 a = 2 c$ 时只剩一条射线， $2 a > 2 c$ 时没有点。 $\pm c$ 叫焦点。复数平方也会给出双曲线： $Re (z^{2}) = x^{2} - y^{2}$ ，而 $∣ z^{2} ∣ = x^{2} + y^{2}$ 。模方程平方前要保留“右边非负”这个条件，平方后再回查。

焦点常数的替换

在右支上， $∣ z + c ∣ = ∣ z - c ∣ + 2 a$ 。这样可以把到左焦点的距离换成到右焦点的距离，再用三角不等式合并。取等时要看点的前后顺序。例如 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 的焦点是 $\pm 3$ ， $z = 2$ 时 $∣ z + 3∣ = 5 = ∣ z - 3∣ + 4$ 。

共轭就是关于实轴反射

$\overline{z}$ 是 $z$ 关于实轴的对称点， $∣ \overline{z} - \overline{a} ∣ = ∣ z - a ∣$ 。所以实轴上的点 $z$ 到 $a$ 的距离，等于到 $\overline{a}$ 的距离。需要把两段折线拉直时，反射其中一个点。几个有限位置的点，还可以先旋转、反射，把它们放到标准位置，但要保持条件不变。

两段距离之差的范围

$∣ z - a ∣ - ∣ z - b ∣ \leq ∣ a - b ∣$ 。等号要求 $z$ 在直线 $ab$ 上且不在线段内部。若 $z$ 只能在某条直线上，先看这条直线和直线 $ab$ 的交点在哪里。如果一个方向上差只是越来越接近某个值，这个值就取不到。例如 $z$ 是实数时， $∣ z - 1∣ - ∣ z + 1∣$ 在 $z \geq 1$ 时恒为 $- 2$ ，在 $z \leq - 1$ 时恒为 $2$ 。

例 3：距离差给出双曲线的一支

复数 $z$ 满足 $∣ z + 3∣ - ∣ z - 3∣ = 4$ 。求 $z$ 的轨迹和 $∣ z ∣$ 的最小值。

怎么看出来：

到两定点的距离差为常数，且 $4 < 6$ ，应是双曲线的一支。差为正，说明离 $3$ 更近，是右支。

解：

设 $z = x + y i$ ，移项平方： $(x + 3)^{2} + y^{2} = 16 + 8 (x - 3)^{2} + y^{2} + (x - 3)^{2} + y^{2}$ ，化简得 $3 x - 4 = 2 (x - 3)^{2} + y^{2}$ ，所以 $x \geq \frac{4}{3}$ 。再平方得 $5 x^{2} - 4 y^{2} = 20$ ，即 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 。结合 $x \geq \frac{4}{3}$ ，只有右支 $x \geq 2$ 。这些点代回都满足 $3 x - 4 > 0$ ，平方没有多出解。 $∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4} x^{2} - 5 \geq 4$ ， $x = 2, y = 0$ 时取等。检查： $z = 2$ 时 $5 - 1 = 4$ 。

答案：

轨迹是 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 的右支， $∣ z ∣$ 的最小值为 $2$ 。

例 4：反射把折线拉直

$z$ 是实数。求 $∣ z - (1 + i) ∣ + ∣ z - (3 + 2 i) ∣$ 的最小值及此时的 $z$ 。

怎么看出来：

两个定点在实轴同侧，折线不能直接拉直。把其中一个点反射到另一侧。

解：

$z$ 是实数， $\overline{z} = z$ ，所以 $∣ z - (1 + i) ∣ = ∣ z - (1 - i) ∣$ 。原式 $= ∣ z - (1 - i) ∣ + ∣ z - (3 + 2 i) ∣ \geq ∣ (3 + 2 i) - (1 - i) ∣ = ∣2 + 3 i ∣ = 13$ 。等号要求 $z$ 在连接 $1 - i$ 和 $3 + 2 i$ 的线段上。线段上的点是 $(1 + 2 t) + (- 1 + 3 t) i$ ，虚部为零得 $t = \frac{1}{3}$ ， $z = \frac{5}{3}$ 。检查： $\frac{2}{3} - i + \frac{4}{3} + 2 i = \frac{13}{3} + \frac{2 13}{3} = 13$ 。

答案：

最小值 $13$ ，此时 $z = \frac{5}{3}$ 。

真题

按这个方法练 · 6 题

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复数模的最值：用三角不等式估界，再找取等的复数

先把目标拆成已知模长的量相加，用三角不等式写出上界或下界，再找出一组真正满足全部条件、让等号成立的复数。找不到这组复数，这个界就不是答案。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

复数的模就是长度

$i$ 满足 $i^{2} = - 1$ 。复数 $z = a + bi$ （ $a, b$ 为实数）对应平面上的点 $(a, b)$ ，它的模 $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 是这个点到原点的距离。例如 $∣3 + 4 i ∣ = 5$ 。模和乘法相容： $∣ z w ∣ = ∣ z ∣ \cdot ∣ w ∣$ ，所以 $∣ z^{2} ∣ = ∣ z ∣^{2}$ ，这是因为 $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ 。

三角不等式和它的等号

对任意复数 $u, v$ ，都有 $∣ u ∣ - ∣ v ∣ \leq ∣ u + v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ ，因为三角形一边不超过另两边之和，也不小于另两边之差。右边的等号在 $u, v$ 同向时成立，即其中一个是另一个的非负实数倍。左边的等号在 $u, v$ 反向时成立，即其中一个是另一个的非正实数倍。例如 $∣ u ∣ = 3, ∣ v ∣ = 1$ 时， $2 \leq ∣ u + v ∣ \leq 4$ ： $u = 3, v = 1$ 得 $4$ ， $u = 3, v = - 1$ 得 $2$ 。把 $v$ 换成 $- v$ ，同样的界也管 $∣ u - v ∣$ 。

各项分别最大，不代表能同时最大

设 $∣ z ∣ = 1$ 。由三角不等式， $∣ z + 1∣ \leq 2$ ， $∣ z - 1∣ \leq 2$ ，加起来 $∣ z + 1∣ + ∣ z - 1∣ \leq 4$ 。但 $∣ z + 1∣ = 2$ 要求 $z = 1$ ， $∣ z - 1∣ = 2$ 要求 $z = - 1$ ，两者不能同时成立，所以 $4$ 取不到。写出界之后，一定要把等号条件放在一起看。

先看一道例题

例 1：两个已知模

复数 $u, v$ 满足 $∣ u ∣ = 2, ∣ v ∣ = 5$ 。求 $∣ u - 2 v ∣$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

目标由 $u$ 和 $2 v$ 组成，这两部分的模都已知，直接用三角不等式。

解：

$∣2 v ∣ = 2∣ v ∣ = 10$ 。上界： $∣ u - 2 v ∣ \leq 2 + 10 = 12$ 。下界： $∣ u - 2 v ∣ \geq 10 - 2 = 8$ 。验证等号：取 $u = - 2, v = 5$ ，满足条件，此时 $∣ - 2 - 10∣ = 12$ 。取 $u = 2, v = 5$ ，满足条件，此时 $∣2 - 10∣ = 8$ 。

答案：

最大值 $12$ ，最小值 $8$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
求 $∣ u + 2 v ∣$ 、 $∣ z^{2} - a ∣$ 这类式子的最大、最小值，已知其中各部分的模	用三角不等式写上下界，再分别让两部分同向、反向
目标是几个模相加，直接展开很繁	不展开，先看两项的和与差能给出什么下界
得到一条随 $r$ 增大、一条随 $r$ 减小的下界	解两条相等的 $r$ ，再造取等的复数（见进阶“竞争下界”）
条件形如“若干模之和不超过某数”	把每个模设为非负参数，保留这个和的约束（见进阶“参数化与合并”）

三、怎么用

把目标写成已知模长的量相加。例如 $∣ u ∣ = 3, ∣ v ∣ = 1$ ，求 $∣ u + 2 v ∣$ 的最值，把它看成 $u$ 和 $2 v$ ，其中 $∣2 v ∣ = 2$ 。
写上界。 $∣ u + 2 v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣2 v ∣ = 3 + 2 = 5$ 。
写下界。 $∣ u + 2 v ∣ \geq ∣ u ∣ - ∣2 v ∣ = 3 - 2 = 1$ 。
写出满足全部条件的具体复数，验证等号。 $u = 3, v = 1$ 时 $∣3 + 2∣ = 5$ ； $u = 3, v = - 1$ 时 $∣3 - 2∣ = 1$ 。两组都满足 $∣ u ∣ = 3, ∣ v ∣ = 1$ 。
得出结论：最大值 $5$ ，最小值 $1$ 。如果某个等号造不出来，就回到第一步换一种拆法。

四、再做一道

例 2：由最大值和最小值的关系反求参数

设实数 $a > 0$ ，复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ 。若 $∣ z^{2} - a ∣$ 的最大值是最小值的 $3$ 倍，求 $a$ 。

怎么看出来：

$∣ z^{2} ∣ = 1$ 是已知的模，先用三角不等式把最值写成 $a$ 的式子，再解方程。最小值里有绝对值，要分情况。

解：

$∣ z^{2} ∣ = ∣ z ∣^{2} = 1$ 。上界： $∣ z^{2} - a ∣ \leq 1 + a$ ， $z = i$ 时 $z^{2} = - 1$ ，值为 $1 + a$ ，取到。下界： $∣ z^{2} - a ∣ \geq ∣1 - a ∣$ ， $z = 1$ 时 $z^{2} = 1$ ，值为 $∣1 - a ∣$ ，取到。所以条件是 $1 + a = 3∣1 - a ∣$ 。当 $a \geq 1$ ： $1 + a = 3 a - 3$ ，得 $a = 2$ ，符合。当 $0 < a < 1$ ： $1 + a = 3 - 3 a$ ，得 $a = \frac{1}{2}$ ，符合。检查： $a = 2$ 时最大值 $3$ 、最小值 $1$ ； $a = \frac{1}{2}$ 时最大值 $\frac{3}{2}$ 、最小值 $\frac{1}{2}$ ，都是 $3$ 倍。

答案：

$a = 2$ 或 $a = \frac{1}{2}$ 。

五、容易错在哪

只写出界而不构造具体复数，答案可能是错的。各项分别取最大的那些复数常常互相矛盾。
构造出的复数要代回原来的复数条件检查，不能只满足化简后的实数参数关系。
对称点不一定是最小点。两条下界竞争时，要比较较大的那条，并在交点处验证。
$∣ u + v ∣ \geq ∣ u ∣ - ∣ v ∣$ 的右边可能是负数，这时它没有提供信息，要用 $∣ u ∣ - ∣ v ∣$ 或按大小分情况。

进阶：竞争下界

两条下界竞争：比较较大的一条

有时两种估计都依赖同一个非负数 $r$ ，一条随 $r$ 增大，一条随 $r$ 减小。这时对每个 $r$ ，目标都不小于两者中较大的那个，而较大者的最小值在两条相等处。还要在这一处造出真实的复数，确认取到。例如 $S \geq r$ 且 $S \geq 6 - r$ 时， $r \leq 3$ 用第二条， $r \geq 3$ 用第一条，总有 $S \geq 3$ 。两项之和 $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ 可以同时有两条下界 $∣ A + B ∣$ 和 $∣ A - B ∣$ 。

例 3：两者中较大者的最小值

对复数 $z$ ，记 $M$ 为 $∣ z ∣$ 和 $∣ z^{2} - 2∣$ 中较大的那个。求 $M$ 的最小值。

怎么看出来：

设 $r = ∣ z ∣$ 。一条下界随 $r$ 增大，另一条随 $r$ 减小，所以看它们相等的地方。

解：

$M \geq r$ 。由三角不等式， $∣ z^{2} - 2∣ \geq 2 - ∣ z^{2} ∣ = 2 - r^{2}$ ，所以 $M \geq 2 - r^{2}$ 。解 $r = 2 - r^{2}$ ， $r \geq 0$ ，得 $r = 1$ 。当 $0 \leq r \leq 1$ 时， $M \geq 2 - r^{2} \geq 1$ ；当 $r \geq 1$ 时， $M \geq r \geq 1$ 。所以总有 $M \geq 1$ 。取 $z = 1$ ： $∣ z ∣ = 1$ ， $∣1 - 2∣ = 1$ ， $M = 1$ ，取到。

答案：

最小值为 $1$ 。

进阶：参数化与合并 · 先修：等比数列求和

把约束的模设成参数，逐步往外估

条件是若干模之和有上限时，把每个模设成非负实数 $α, β$ ，再用三角不等式控制其余的量。例如 $α = ∣ z - 1∣$ 时， $∣ z ∣ \leq α + 1$ 。整条估计链结束后，回到原来的复数，检查每一步的等号能否同时成立。

总和固定：两项合成一项

条件给出 $z_{1} + \dots + z_{n}$ 的值时，变量是牵连的，不能分别取最优。可以找一个 $f (a) + f (b) \leq c + f (a + b)$ 型的不等式，一次合并两个变量，反复使用后只剩总和。最简单的情形是 $∣ a ∣ + ∣ b ∣ \geq ∣ a + b ∣$ ，难一些的情形要先把这类不等式证出来。

相邻项配对，比逐项估计更紧

逐项取模相加可能太松。如果 $z_{2} = \frac{i}{2} z_{1}$ ，那么 $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot 1 + \frac{i}{2} = \frac{5}{2} ∣ z_{1} ∣ \approx 1.118∣ z_{1} ∣$ ，而分开算是 $1.5∣ z_{1} ∣$ 。当相邻项的比值模固定时，先把相邻两项合起来求模，再对各对的模用等比数列求和；项数为奇数时还多出一项，要单独算进去。

例 4：保留和的约束估计乘积

复数 $z, w$ 满足 $∣ z - 1∣ + ∣ w - 1∣ \leq 2$ 。求 $∣ z w ∣$ 的最大值。

怎么看出来：

若分别估计， $∣ z ∣ \leq 3, ∣ w ∣ \leq 3$ ，得到 $9$ ，但这要用掉两次约束，取不到。所以把两个模设成参数，保留它们的和。

解：

设 $α = ∣ z - 1∣, β = ∣ w - 1∣$ ，则 $α, β \geq 0$ ， $α + β \leq 2$ 。由三角不等式， $∣ z ∣ \leq 1 + α$ ， $∣ w ∣ \leq 1 + β$ ，所以 $∣ z w ∣ \leq (1 + α) (1 + β)$ 。对实数 $p, q$ ，由 $(p - q)^{2} \geq 0$ 得 $pq \leq (\frac{p + q}{2})^{2}$ 。于是 $(1 + α) (1 + β) \leq (\frac{2 + α + β}{2})^{2}$ 。因为 $0 < 2 + α + β \leq 4$ ，所以右边不超过 $4$ 。取 $z = w = 2$ ： $∣1∣ + ∣1∣ = 2$ 满足条件， $∣ z w ∣ = 4$ 。

答案：

最大值为 $4$ 。

例 5：总和固定时合并成一项

复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足 $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 3 + i$ 。求 $∣ z_{1} - 1∣ + ∣ z_{2} - i ∣ + ∣ z_{3} + 1∣$ 的最小值。

怎么看出来：

三个变量被总和牵连。把三个模里的复数加起来，结果只和总和有关。

解：

三个模里的复数之和为 $(z_{1} + z_{2} + z_{3}) - 1 - i + 1 = 3 + i - i = 3$ 。由三角不等式，模之和不小于和的模，所以原式 $\geq 3$ 。要取等，三个复数要同向。取它们都等于 $1$ ： $z_{1} = 2, z_{2} = 1 + i, z_{3} = 0$ 。此时 $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 3 + i$ ，满足条件，原式 $= 1 + 1 + 1 = 3$ 。

答案：

最小值为 $3$ 。

真题

按这个方法练 · 8 题

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模平方的恒等式：由三条长度算内积，用旋转简化条件

把模平方展开， $∣ u + v ∣^{2}$ 里多出的项只有 $2 Re (\overline{u} v)$ 。已知几条长度就能算出它，不用解出 $u, v$ 本身。整体乘模为 1 的数相当于旋转，长度不变，可以把条件变简单。

完整讲解 · 例题 · 可练 5 题

一、是什么

共轭、实部和模平方

$z = a + bi$ 的共轭是 $\overline{z} = a - bi$ ，实部记作 $Re z = a$ ，虚部记作 $Im z = b$ 。 $z \overline{z} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ 。设 $u = a + bi, v = c + d i$ ，则 $\overline{u} v = (a c + b d) + (a d - b c) i$ ，所以 $Re (\overline{u} v) = a c + b d$ 。

展开公式

$∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + 2 Re (\overline{u} v)$ ， $∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - 2 Re (\overline{u} v)$ 。用坐标展开就能得到。检查： $u = 1 + i, v = 2$ 时 $∣3 + i ∣^{2} = 10$ ，右边 $2 + 4 + 2 \cdot 2 = 10$ 。由第二式， $Re (\overline{u} v) = \frac{∣ u ∣ ^{2} + ∣ v ∣ ^{2} - ∣ u - v ∣ ^{2}}{2}$ ，三条长度确定实部。

平行四边形恒等式

两式相加， $∣ u + v ∣^{2} + ∣ u - v ∣^{2} = 2∣ u ∣^{2} + 2∣ v ∣^{2}$ 。它把和与差绑在一起： $∣ u + v ∣$ 大时， $∣ u - v ∣$ 就要小。所以不能给两者分别用 $∣ u ∣ + ∣ v ∣$ 这个上界再相加，那样会丢掉这层关系。

两数之和与平方和

对实数 $p, q$ ， $(p + q)^{2} \leq 2 (p^{2} + q^{2})$ ，因为两边之差等于 $(p - q)^{2} \geq 0$ 。等号在 $p = q$ 时成立。它常和平行四边形恒等式配合使用。

先看一道例题

例 1：由三条长度求第四条

复数 $u, v$ 满足 $∣ u ∣ = 2, ∣ v ∣ = 3, ∣ u + v ∣ = 4$ 。求 $∣ u - v ∣$ 和 $Re (\overline{u} v)$ 。

怎么看出来：

已知三条长度，没有给 $u, v$ 本身，所以直接用展开公式。

解：

由 $∣ u + v ∣^{2} = 4 + 9 + 2 Re (\overline{u} v) = 16$ ，得 $Re (\overline{u} v) = \frac{3}{2}$ 。于是 $∣ u - v ∣^{2} = 4 + 9 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 10$ 。核对： $16 + 10 = 26 = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 9$ 。这三条长度能构成三角形，因为 $3 - 2 \leq 4 \leq 3 + 2$ 。

答案：

$∣ u - v ∣ = 10$ ， $Re (\overline{u} v) = \frac{3}{2}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知 $∣ u ∣, ∣ v ∣, ∣ u \pm v ∣$ 中的几个	用展开公式求 $Re (\overline{u} v)$ ，或用平行四边形恒等式求第四条
求 $∣ u + v ∣ + ∣ u - v ∣$ 的上界	先用 $(p + q)^{2} \leq 2 (p^{2} + q^{2})$ ，再用平行四边形恒等式
条件只有 $∣$ 线性组合 $∣$ ，目标全由模组成	旋转使线性组合成为正实数（见进阶“相位与实向量”）
几个形如 $a^{2} + ab + b^{2}$ 的条件	写成复数的模平方（见进阶“二次式与有向虚部”）

三、怎么用

确认已知的是哪几条长度。例如 $∣ u ∣ = 1, ∣ v ∣ = 2, ∣ u + v ∣ = 2$ 。
写出含 $Re (\overline{u} v)$ 的展开式。 $∣ u + v ∣^{2} = 1 + 4 + 2 Re (\overline{u} v) = 4$ 。
解出实部。 $Re (\overline{u} v) = - \frac{1}{2}$ 。
代入要求的量。 $∣ u - v ∣^{2} = 1 + 4 - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 6$ ，所以 $∣ u - v ∣ = 6$ 。
用平行四边形恒等式核对： $∣ u + v ∣^{2} + ∣ u - v ∣^{2} = 4 + 6 = 10 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4$ 。

四、再做一道

例 2：和与差的模合起来估计

复数 $u, v$ 满足 $∣ u ∣ \leq 1, ∣ v ∣ \leq 1$ 。求 $∣ u + v ∣ + ∣ u - v ∣$ 的最大值。

怎么看出来：

分别估计得到 $2 + 2 = 4$ ，但 $∣ u + v ∣ = 2$ 时 $u = v$ （模都为 1），这时 $∣ u - v ∣ = 0$ 。和与差被恒等式绑定，所以平方后一起算。

解：

设 $p = ∣ u + v ∣, q = ∣ u - v ∣$ 。 $(p + q)^{2} \leq 2 (p^{2} + q^{2}) = 2 (2∣ u ∣^{2} + 2∣ v ∣^{2}) \leq 2 \cdot 4 = 8$ 。 $p + q \geq 0$ ，所以 $p + q \leq 22$ 。取 $u = 1, v = i$ ： $∣1 + i ∣ + ∣1 - i ∣ = 22$ ，满足 $∣ u ∣, ∣ v ∣ \leq 1$ ，取到。

答案：

最大值为 $22$ 。

五、容易错在哪

旋转前要逐项确认目标不变。 $∣ x^{2} + y^{2} ∣$ 不变， $Re (x^{2} + y^{2})$ 会变。
$Im (\overline{u} v)$ 开方后有两个符号，不能默认取正，要由题目条件确定。
把 $∣ u + v ∣$ 和 $∣ u - v ∣$ 分别用 $∣ u ∣ + ∣ v ∣$ 估计再相加，得到的界通常取不到。
柯西不等式取等的条件，要和题目的线性条件一起解出来，确认存在这样的数。

进阶：相位与实向量

旋转：乘一个模为 1 的数

$∣ e ∣ = 1$ 时， $∣ ez ∣ = ∣ z ∣$ ，点 $z$ 到原点的距离不变。如果 $x + 2 y \neq = 0$ ，取 $e = \frac{∣ x + 2 y ∣}{x + 2 y}$ ，就能把 $x + 2 y$ 变成正实数。使用前要确认所有条件和目标都不变： $∣ x ∣^{2}$ 、 $∣ x^{2} + y^{2} ∣$ 不变，但 $x^{2} + y^{2}$ 本身会乘上 $e^{2}$ ，它的实部会变。

分离实部和虚部，用柯西不等式

对实数有 $(p a + q c)^{2} \leq (p^{2} + q^{2}) (a^{2} + c^{2})$ ，因为两边之差等于 $(p c - q a)^{2} \geq 0$ ，等号在 $p c = q a$ 时成立。把 $x, y$ 的实部看成一组、虚部看成另一组，条件和目标就落到两组实数上。设实部平方和为 $U$ ，虚部平方和为 $V$ ，实部与虚部对应相乘之和为 $W$ ，则 $∣ x^{2} + y^{2} ∣ = ∣ U - V + 2 Wi ∣ \geq ∣ U - V ∣$ ，而 $∣ x ∣^{2} + ∣ y ∣^{2} = U + V$ 。例如 $x = 1, y = i$ 时 $U = V = 1$ ， $W = 0$ ， $x^{2} + y^{2} = 0$ 。

例 3：旋转后用柯西不等式

复数 $x, y$ 满足 $∣ x + 2 y ∣ = 5$ 。求 $∣ x ∣^{2} + ∣ y ∣^{2}$ 的最小值，以及取到时 $x$ 与 $y$ 的比值。

怎么看出来：

条件和目标都只含模，整体乘模为 1 的数都不变，所以可以把 $x + 2 y$ 转成实数。

解：

整体乘模为 1 的数，不妨设 $x + 2 y = 5$ 。写 $x = a + bi, y = c + d i$ ，则 $a + 2 c = 5$ ， $b + 2 d = 0$ 。由柯西不等式， $25 = (a + 2 c)^{2} \leq 5 (a^{2} + c^{2})$ ，所以 $a^{2} + c^{2} \geq 5$ ，从而 $∣ x ∣^{2} + ∣ y ∣^{2} \geq 5$ 。等号要求 $b = d = 0$ 且 $c = 2 a$ ，再由 $a + 2 c = 5$ 得 $a = 1, c = 2$ 。检查： $x = 1, y = 2$ 时 $∣ x + 2 y ∣ = 5$ ， $∣ x ∣^{2} + ∣ y ∣^{2} = 5$ 。旋转不改变比值，所以 $x : y = 1 : 2$ 。

答案：

最小值为 $5$ ，此时 $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ 。

进阶：二次式与有向虚部 · 先修：向量夹角

虚部：长度给大小，符号要另外定

$∣ \overline{u} v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣$ ，所以 $Im (\overline{u} v)^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - Re (\overline{u} v)^{2}$ 。开方后有正负两种可能，符号要由题目的具体构造来定。这个虚部等于 $a d - b c$ ，它有方向，交换 $u, v$ 就变号。

把二次式看成长度

设 $ω = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ，则 $∣ a + bω ∣^{2} = (a + \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2} = a^{2} + ab + b^{2}$ 。所以 $a^{2} + ab + b^{2}$ 可以看成一个复数模的平方。几个这样的二次式如果能用同一组复数表示，就能用上面的长度公式联系起来，不必解出 $a, b$ 。

例 4：虚部的符号决定答案

复数 $u, v$ 满足 $∣ u ∣ = 1, ∣ v ∣ = 2, ∣ u - v ∣ = 2$ ，且 $Im (\overline{u} v) > 0$ 。求 $∣ u + i v ∣^{2}$ 。

怎么看出来：

目标展开后含 $Re (\overline{u} \cdot i v)$ ，这是虚部的信息。三条长度只给实部，虚部的大小要用乘积的模来算。

解：

$Re (\overline{u} v) = \frac{1 + 4 - 4}{2} = \frac{1}{2}$ 。又 $∣ \overline{u} v ∣ = 2$ ，所以 $Im (\overline{u} v)^{2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$ ，由已知取正值， $Im (\overline{u} v) = \frac{15}{2}$ 。因为 $Re (i (s + t i)) = - t$ ，所以 $∣ u + i v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + 2 Re (i \overline{u} v) = 5 - 2 Im (\overline{u} v) = 5 - 15$ 。如果虚部取负，结果会变成 $5 + 15$ 。

答案：

$5 - 15$ 。

真题

按这个方法练 · 5 题

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圆盘条件：用模不超过 1 的参数表示点

以 $a, b$ 为直径的圆盘写成 $z = \frac{a + b}{2} + u \cdot \frac{a - b}{2}$ ， $∣ u ∣ \leq 1$ 。这样不等式变成了等式，多层条件可以一层层代入，最后估计系数。

完整讲解 · 例题 · 可练 3 题

一、是什么

圆盘和圆周

$∣ z - c ∣ \leq r$ （ $r \geq 0$ ）是以 $c$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆盘，包含边界和内部； $∣ z - c ∣ = r$ 只是圆周。这里 $z = x + y i$ ， $i^{2} = - 1$ ，模就是距离。 $r = 0$ 时圆盘只有一个点 $c$ 。

以两点为直径

$∣2 z - (a + b) ∣ \leq ∣ a - b ∣$ 两边除以 $2$ ，得 $z - \frac{a + b}{2} \leq \frac{∣ a - b ∣}{2}$ 。圆心是 $a, b$ 的中点，半径是 $a, b$ 距离的一半，所以它是以 $a, b$ 为直径的圆盘。例如 $a = 1, b = 3$ ： $∣2 z - 4∣ \leq 2$ ，即 $∣ z - 2∣ \leq 1$ 。

参数表示

$∣ z - c ∣ \leq r$ 且 $r > 0$ 时，令 $u = \frac{z - c}{r}$ ，则 $∣ u ∣ \leq 1$ ， $z = c + r u$ 。反过来，任何 $∣ u ∣ \leq 1$ 都给出圆盘里的点。于是不等式换成了一个等式加一个范围。 $r = 0$ 时 $u$ 的定义要除以零，这时直接写 $z = c$ ；公式 $z = c + r u$ 仍然成立， $u$ 任取。

判别式定模时，系数落在圆上

若 $4 a = w - d$ ，其中 $w$ 固定， $∣ d ∣$ 固定，则 $a$ 在圆心为 $\frac{w}{4}$ 、半径为 $\frac{∣ d ∣}{4}$ 的圆上。例如 $w = 4, ∣ d ∣ = 4$ 时， $a$ 在 $∣ a - 1∣ = 1$ 上，于是 $∣ a ∣ \leq 2$ 。这正是复系数方程中已知根差模时的情形，因为根差的平方等于判别式。

先看一道例题

例 1：以两点为直径的圆盘

复数 $z$ 满足 $∣2 z - (2 + 2 i) ∣ \leq ∣2 - 2 i ∣$ 。求 $∣ z ∣$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

形状是以 $2$ 和 $2 i$ 为直径的圆盘。先写出圆心和半径，再看原点的位置。

解：

圆心 $c = 1 + i$ ，半径 $r = 2$ 。写 $z = c + 2 u$ ， $∣ u ∣ \leq 1$ 。上界： $∣ z ∣ \leq ∣ c ∣ + 2 = 22$ ， $z = 2 + 2 i$ 时取到。下界： $∣ z ∣ \geq 0$ ，而 $z = 0$ 时 $∣0 - (2 + 2 i) ∣ = 22 = ∣2 - 2 i ∣$ ，满足条件，所以最小值 $0$ 取到。这是因为原点恰好在圆周上。

答案：

最大值 $22$ ，最小值 $0$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$∣2 z - (a + b) ∣ \leq ∣ a - b ∣$	以 $a, b$ 为直径的圆盘，写出圆心和半径
$∣ z - c ∣ \leq r$ ，求 $∣ z ∣$ 的最值	写 $z = c + r u$ ，用三角不等式， $u$ 的方向决定取等
条件里圆盘的端点是参数，问端点	把点代入不等式，解端点满足的条件
一个点在圆盘里，这个圆盘的端点又在另一个圆盘里	逐层写参数，代入成最外层端点的组合（见进阶“嵌套圆盘”）
分式 $\frac{z - a}{z - b}$ ， $z$ 在直线上	看像是否在圆上，再检查哪些点取不到（见进阶“分式圆像”）

三、怎么用

写出圆心和半径。例如 $∣2 z - (2 + 2 i) ∣ \leq ∣2 - 2 i ∣$ ，圆心 $c = 1 + i$ ，半径 $r = 2$ 。
检查半径是否为零。这里 $r = 2 > 0$ ；若 $a = b$ ，圆盘只有一个点，单独写出。
写参数。 $z = (1 + i) + 2 u$ ， $∣ u ∣ \leq 1$ 。
用三角不等式估计目标。 $∣ z ∣ \leq ∣1 + i ∣ + 2 ∣ u ∣ \leq 22$ 。
确定 $u$ 的方向并验证。取 $u$ 与 $1 + i$ 同向， $u = \frac{1 + i}{2}$ ，得 $z = 2 + 2 i$ ，代回： $∣2 z - (2 + 2 i) ∣ = ∣2 + 2 i ∣ = 22 = ∣2 - 2 i ∣$ 。

四、再做一道

例 2：由一个点反求直径端点

实数 $b$ 使 $z = 2$ 落在以 $1$ 和 $b$ 为直径的圆盘内（含边界）。求 $b$ 的范围。

怎么看出来：

现在未知的是端点，把 $z = 2$ 代入圆盘的不等式，解 $b$ 。

解：

条件是 $∣2 \cdot 2 - (1 + b) ∣ \leq ∣1 - b ∣$ ，即 $∣3 - b ∣ \leq ∣ b - 1∣$ 。两边非负，平方得 $9 - 6 b + b^{2} \leq b^{2} - 2 b + 1$ ，即 $8 \leq 4 b$ ， $b \geq 2$ 。检查： $b = 2$ 时圆心 $\frac{3}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ ， $z = 2$ 恰在边界上。 $b = 1$ 时半径为 $0$ ，圆盘只有点 $1$ ， $z = 2$ 不在里面，这和 $b \geq 2$ 一致。

答案：

$b \geq 2$ 。

五、容易错在哪

圆盘包含内部，圆周只是边界。 $∣ u ∣ \leq 1$ 和 $∣ u ∣ = 1$ 不要混。
半径为零时不能除以半径，要先单独说明。例如 $a = b$ 时圆盘只有一个点。
像落在圆上，不代表取遍整个圆。要解出原来的变量，看有没有取不到的点。
构造取等时，要回到最初的端点条件检查，只满足 $∣ u ∣ \leq 1$ 还不够。

进阶：嵌套圆盘

改写成端点的组合

$z = \frac{a + b}{2} + u \frac{a - b}{2} = \frac{1 + u}{2} a + \frac{1 - u}{2} b$ 。两个系数的和为 $1$ ，而且 $\frac{1 + u}{2} \leq 1$ 。这种系数和为 $1$ 的组合叫仿射组合。这样一层条件可以代入下一层，最后 $z$ 写成最外层端点的组合。

两层嵌套的系数

设 $z_{3}, z_{4}$ 都在以 $a, b$ 为直径的圆盘内，参数分别为 $u, v$ ， $z_{5}$ 在以 $z_{3}, z_{4}$ 为直径的圆盘内，参数为 $w$ 。代入得 $z_{5} = \frac{a + b}{2} + q \frac{a - b}{2}$ ，其中 $q = \frac{( u + v ) + w ( u - v )}{2}$ 。估计 $∣ q ∣$ 时不能给 $∣ u + v ∣$ 和 $∣ u - v ∣$ 分别用上界 $2$ ，它们由 $∣ u + v ∣^{2} + ∣ u - v ∣^{2} = 2∣ u ∣^{2} + 2∣ v ∣^{2}$ 绑定。取等时要同时安排 $u, v, w$ 和端点的方向。

例 3：两层圆盘代入

复数 $p$ 满足 $∣ p ∣ \leq 1$ ，复数 $q$ 在以 $p$ 和 $1$ 为直径的圆盘内（含边界）。求 $∣ q - 1∣$ 的最大值，并求此时的 $p, q$ 。

怎么看出来：

$q$ 依赖 $p$ ， $p$ 又有范围。把 $q$ 写成端点的组合，再减 $1$ ， $p - 1$ 就整体出现了。

解：

写 $q = \frac{1 + u}{2} p + \frac{1 - u}{2} \cdot 1$ ， $∣ u ∣ \leq 1$ 。两个系数和为 $1$ ，所以 $q - 1 = \frac{1 + u}{2} (p - 1)$ 。 $\frac{1 + u}{2} \leq \frac{1 + ∣ u ∣}{2} \leq 1$ ， $∣ p - 1∣ \leq ∣ p ∣ + 1 \leq 2$ ，所以 $∣ q - 1∣ \leq 2$ 。取等要 $u = 1$ 且 $p = - 1$ ，此时 $q = p = - 1$ 。检查： $q = - 1$ 是圆盘的端点，满足 $∣2 q - (p + 1) ∣ = 2 = ∣ p - 1∣$ ； $∣ q - 1∣ = 2$ 。

答案：

最大值 $2$ ，此时 $p = q = - 1$ 。

进阶：分式圆像

分式把直线变成圆

$w = \frac{z - 1}{z + 1}$ （ $z \neq = - 1$ ）把虚轴 $z = y i$ 变到单位圆上，因为 $∣ y i - 1∣ = ∣ y i + 1∣$ 。但像不一定取遍整个圆，要解方程 $z = \frac{1 + w}{1 - w}$ 看哪些点取不到：这里 $w = 1$ 取不到。分母为零的点要先排除。这个 $w$ 由 $z$ 唯一确定，反过来也唯一，所以像相等时原来的 $z$ 也相等。

例 4：分式圆像的实际范围

设 $z = y i$ （ $y$ 为实数）， $w = \frac{z - 1}{z + 1}$ 。求 $Re w$ 的取值范围。

怎么看出来：

$∣ w ∣ = 1$ 只说明 $w$ 在单位圆上，并没有说明取遍整个圆，所以要算出实部的准确范围。

解：

分母 $y i + 1 \neq = 0$ 。 $w = \frac{( y i - 1 ) ( 1 - y i )}{1 + y ^{2}} = \frac{y ^{2} - 1 + 2 y i}{1 + y ^{2}}$ ，所以 $Re w = 1 - \frac{2}{1 + y ^{2}}$ 。由 $y^{2} \geq 0$ ， $\frac{2}{1 + y ^{2}} \in (0, 2]$ ，所以 $Re w \in [- 1, 1)$ 。任意 $t \in [- 1, 1)$ 都能取到：令 $y^{2} = \frac{1 + t}{1 - t} \geq 0$ ，代入得 $Re w = t$ 。 $t = 1$ 时 $w = 1$ ，但这要求 $z - 1 = z + 1$ ，不可能。

答案：

$- 1 \leq Re w < 1$ 。

真题

按这个方法练 · 3 题

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误区对照

容易误以为

首一二次方程根为 $α, β$ ，有 $(α - β)^{2} = Δ$ ，所以 $∣ α - β ∣ = ∣Δ∣$ 。

应当这样想

取模得 $∣ α - β ∣^{2} = ∣Δ∣$ 。根为 $1 \pm i$ 时， $Δ = - 4$ ，根差为 $2 i$ ，模为 $2$ ，不是 $4$ 。

为什么

平方的模等于模的平方，取模并不会把平方指数消掉。

容易误以为

所有变量同乘单位复数都保持模长，所以任何复数最值题都可把第一个非零变量转到正实轴。

应当这样想

还须检查每条约束是否保持。例如 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 1$ 在同乘 $i$ 后变成 $- 1$ ，并不保持； $z_{1} = 1, z_{2} = 0$ 即是反例。

为什么

允许变换必须保持整个可行集，不能只保持目标或若干模长。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 40 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

复数综合

从这里开始

知识要点

方法卡

复数条件求未知数：分开实部和虚部，保留每一个分支

一、是什么

复数的基本记号

为什么实部虚部能分开

共轭和模

分式：乘分母的共轭

先看一道例题

例 1：复系数方程有实根

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：分式为实数，注意分母

五、容易错在哪

共轭等式：不拆实部虚部也能化简

例 3：共轭等式求模

平方和为零：两项都锁定

例 4：配成平方和

数列递推：拆成实部和虚部两个数列

例 5：递推拆成两个实数列

例 6：纯虚数条件与开端点

由复数根的结构定系数和范围

一、是什么

虚根成对

根与系数的关系

判别式和虚根

先看一道例题

例 1：由一个虚根求系数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：含参数方程的虚根的模

五、容易错在哪

根差的平方就是判别式

对称式确定根：先写多项式

例 3：由根差和模求系数的模

例 4：对称式确定三个数

模为 1 的根和单位根

例 5：单位根的幂

模就是距离：把复数条件看成平面图形

一、是什么

∣z−a∣ 是距离

到两点距离相等：中垂线

距离比：平方后整理

点到圆的远近

先看一道例题

例 1：中垂线上的最小距离

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：距离比给出圆

五、容易错在哪

到两点距离的差：双曲线的一支

焦点常数的替换

共轭就是关于实轴反射

两段距离之差的范围

例 3：距离差给出双曲线的一支

例 4：反射把折线拉直

复数模的最值：用三角不等式估界，再找取等的复数

一、是什么

复数的模就是长度

三角不等式和它的等号

各项分别最大，不代表能同时最大

先看一道例题

例 1：两个已知模

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：由最大值和最小值的关系反求参数

五、容易错在哪

两条下界竞争：比较较大的一条

例 3：两者中较大者的最小值

把约束的模设成参数，逐步往外估

总和固定：两项合成一项

相邻项配对，比逐项估计更紧

例 4：保留和的约束估计乘积

例 5：总和固定时合并成一项

$∣ z - a ∣$ 是距离