同一骨架 2026 年福建预赛 · P005971
嵌套对象可以按互不影响的局部状态编码。一个因数再选因数，等价于每个素数的两个指数满足包含次序；两个集合的包含关系，则约束每个元素的归属状态。局部状态列全后，整体数量由各部分的选择数相乘得到。
素数指数的两层选择与元素归属的两层选择外形不同，实质都在逐坐标计数嵌套关系。
培玉 · 一试
2025 年江苏预赛
F2填空题数论
设 表示正整数 的所有正因数的个数，并定义
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把 的因数写成 ，因数个数函数立即分离成乘积和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
的每个正因数唯一写成 ，其中 ，且 。因此
复核
双重求和恰覆盖 的 个正因数且无重复；也与乘法函数 的乘法性一致。
方法总结
对因数求和时先作素因数分解。若被求和函数具有乘法性，和式可按各素数指数独立相乘。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把100的因子按2和5的指数唯一列出，双重和自然分离成两个有限和。
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