2022 年广西预赛

解答

设自然数边长 $a\le b\le c$。题设等价于

即

因三项均不超过 $1/(ab)$，由 (1) 得 $ab\le 12$；又

故 $ab>4$。于是 $5\le ab\le 12$，且 $a\le \sqrt{12}$，只需考察 $a=1,2,3$。

当 $a=1$ 时，$c=4+20/(b-4)$。结合整性和 $c\ge b$，得到

当 $a=2$ 时，$c=2+8/(b-2)$，得到

当 $a=3$ 时，$b=3$ 或 $4$，均不能使 $c$ 为整数。故全部有序解为

体积最大的是