培玉 · 一试
2017 年安徽预赛 · 第 2 题
F2填空题复数的概念与运算
设复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的模长 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
将给定右端整体记成一个复数，注意常数项正好是它的模平方。
思路
解出的分式中会出现一对共轭因子，取模即可抵消。
解答
记 ，则 、。原式要求 ，交叉相乘并整理可得
因为 为实数， 与 互为共轭，模长相等且不为零。因此
复核
还需核原分式禁值。由解式，，故所求复数满足原方程及其定义域要求；反向代入即可还原右端 。这里没有因取模而把不满足原等式的数当作解。
方法总结
复分式含实常数与模平方时，先整体设元，再识别共轭配对；两个共轭量模相等能直接简化商的模，但原分母禁值仍须保留。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
要把右端整体设为复数，识别常数项与模平方的关系，使解出的分式出现真正的共轭因子；取模抵消以后，还需单独核原分母禁值。
已记下，谢谢！