培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题不等式的证明
在三角形区域x≥0、y≥0、x+y≤1上，以ax+by近似xy。求a、b可变时最大绝对误差的最小值。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
改变活动域为三角形后，边中点提供新的尖锐误差界。
解答
设最大误差为M。两个顶点(1,0)、(0,1)给|a|,|b|≤M；边中点(1/2,1/2)的误差≥1/4-(a+b)/2≥1/4-M，故M≥1/8。取a=b=1/8，令s=x+y∈[0,1]，则0≤xy≤s²/4。误差e=xy-s/8满足e≥-1/8，且e≤s²/4-s/8≤1/8，最后一步由凸二次式在[0,1]的端点最大值给出。因此最优1/8。 所求为 。
复核
三角形不再包含原正方形右上角；不能照搬四角误差模型。
方法总结
改变活动域为三角形后，边中点提供新的尖锐误差界。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
改变活动域为三角形后，边中点提供新的尖锐误差界。
已记下，谢谢！