2008 年陕西预赛 · 第 9 题

解答

设底面等边三角形的高为 $h$，侧面与底面的二面角为 $\varphi$。点 $M$ 到三侧面的距离分别为 $d_1={\delta }_{AB}\sin \varphi ,d_2={\delta }_{BC}\sin \varphi ,d_3={\delta }_{CA}\sin \varphi$，其中 $\delta$ 是到相应底边的距离。由于 ${\delta }_{AB}+{\delta }_{BC}+{\delta }_{CA}=h$，故 $d_1+d_2+d_3=h\sin \varphi$。题给次序下等差即 $d_1+d_3=2d_2$，等价于 ${\delta }_{BC}=h/3$，所以轨迹是三角形内平行于 $BC$ 的一条完整线段，选 $\boxed{\mathrm{B}}$。