2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题

解答

由对称性可设 $m\ge n$。$m=n$ 时目标为零。设 $t=m/n>1$、$k=[t]$，则目标为 $t-k+1/t$，在每个 $[k,k+1)$ 上随 $t>1$ 严格增加。若 $k\ge 2$，该值严格小于 $1+1/(k+1)\le 4/3$。若 $k=1$，则 $m<2n$。当 $n\le 15$ 时，$m\le 2n-1$，所以 $t\le 29/15$；当 $n\ge 16$ 时，$t\le 30/16<29/15$。故这一类最大在 $m=29,n=15$ 取得，为

它大于 $4/3$，所以是全局最大值。