培玉 · 一试
一试训练题
F3填空题组合计数综合
整数1≤m<n≤12。若 有实解，这样的(m,n)共有多少对？
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
每项都必须取1，约去最大公约数后比较模4。
解答
有mx=π/2+2uπ、nx=π/2+2vπ，故若m=dp、n=dq且p、q互素，就须p、q都是奇数且同余模4；反之同余时选奇数t使pt、qt都模4余1，再取x=tπ/(2d)即可。1到12中约分后合格比为1:5、1:9、5:9、3:7、3:11、7:11；1:5可乘d=1,2，其余只有d=1，另1:1不允许。因此合计7对。 所求为 。
复核
最后计数须以互素比为准；m=n不允许，不计1:1。
方法总结
每项都必须取1，约去最大公约数后比较模4。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
每项都必须取1，约去最大公约数后比较模4。
已记下，谢谢！