培玉 · 一试
2022 年甘肃预赛
共轭复数的辐角条件
F2填空题复数的三角形式与指数形式
设 为一对共轭复数，如果满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
共轭复数具有相反的辐角和相同的模。
思路
写成极形式后，实数条件把三倍辐角限制为 的整数倍，距离条件随即确定模。
解答
设
则
该数为实数，故 。另一方面，
所以 。因此 不是 的整数倍，而在其余允许情形中
从而
复核
由商有定义保证；取例如 时，两项条件同时成立，所得模确实可达。
方法总结
共轭复数同时涉及商与距离时，极形式最自然：共轭把辐角变号，幂次商给出辐角的整倍约束，虚部差则用 表示。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
共轭写成正负辐角后商为实直接给3theta为pi整数倍，再排除sin theta=0用两点距离确定模，属于常见辐角模型。
已记下，谢谢！