2014 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

（1）除正数 $x$，条件为 $a\le H(x)=\ln x+x+2/x$。导数为 $(x+2)(x-1)/x^2$，故最小值为三，答案 $\boxed{a\le 3}$。（2）此时 $f(x)=x\ln x+x$，其导数 $\ln x+2$ 在 $r=e^{-2}$ 处变号。区间右端大于三，其函数值为正；若左端在谷点左侧，其函数值为负。因此最大值总是 $\boxed{f(m+3)}$；最小值在 $0<m\le r$ 时为 $\boxed{-e^{-2}}$，在 $m\ge r$ 时为 $\boxed{m\ln m+m}$，边界两式一致。（3）全域有 $x\ln x+x\ge -e^{-2}$，又 $x{e}^{-x}\le 1/e$，故 $x[\ln x+1-e^{-x}+2/(ex)]\ge 1/e-e^{-2}>0$。除正数 $x$ 得所求 $\boxed{\ln x+1>e^{-x}-2/(ex)}$。