同一骨架 2015 年河北预赛 第 4 题 · P010689
先把空间折线通过反射或逐面展开改写为两定点间的保长折线，再以两端直线距离给下界；真正的最小值还须证明等号折点按序落在指定面片或棱段内。
前题允许折点在两个三角形面内，用反射求交点；后题折点限在两条棱上，要按侧面顺序展开，不能把整个支撑平面的下界直接当成答案。
培玉 · 一试
2024 年江西预赛
F4填空题空间角与距离
是棱长为 的正四面体 的面 的中心， 分别是面 上的动点，则 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
关于平面反射保持面上点的距离；折线长度至少为两端直线距离，等号要求各点沿同一线段依次排列。三角形内点的重心坐标均非负且和为1。
想法从哪来：折线经过两个给定面，先尝试把每一段都压低到点与平面的距离，通常达不到同时等号；关键应是整条路径能否拉直。分别把首尾同一个固定点向两张面反射，经过面上的两点到反射点的距离不变，于是三段折线获得一个固定两端点。三角不等式立即给出下界，但还不能宣布最小值：直线与两个无限平面相交，不保证交点落在题给的三角形面内，也不保证先后顺序正确。选择对称的正四面体坐标后，反射点和交点都可精确算出，用正的重心坐标验证等号路径确实可行。
分别把起点、终点关于两张经过点的面反射，把折线展开为直线。
解答
取
则四面体棱长均为 ，且
把 关于平面 的对称点记为 ，关于平面 的对称点记为 。由两平面的方程
计算得
因此对任意 ，
直线段 与两平面的交点依次为
它们在相应三角形面内的重心坐标均为 ，故等号可取到。所求最小值为
复核
反射只改变垂直于对应平面的分量，故 、；给出的两个交点均在面内而不是只在延长平面上。
方法总结
空间折线路径依次经过两个平面时，可把两端分别关于相应平面反射，再检查直线等号点是否落在指定面域内。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需要分别反射固定点到两面外把三段线展开，再求直线与两面的交点并证明它们都落在三角形内且次序正确。
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