2018 年湖南预赛

解答

设 $P_0,Q_0$ 为 $P,Q$ 在公共棱 $l$ 上的垂足，分别取两半平面内的垂棱单位方向 $e_1,e_2$，有 $e_1\cdot e_2=\cos 60^{\circ }=1/2$。因二面角为锐角，点到另一半平面及其支撑平面的垂足均在原半平面内，所以 $P{P}_0\sin 60^{\circ }=\sqrt{3},Q{Q}_0\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$，得 $P{P}_0=2,Q{Q}_0=4$。沿棱分量与垂棱分量正交，于是 $P{Q}^2=P_0{Q}_0^2+|2e_1-4e_2{|}^2=P_0{Q}_0^2+12\ge 12$。令两垂足重合就达到，所以 $\boxed{\min PQ=2\sqrt{3}}$。