培玉 · 一试

专题地图 › 三角函数与解三角形

三角函数初步

从这里开始

先列分支，再用范围筛选

由三角函数值求其他值或解方程时，保留全部正负与周期分支，再按象限、原区间和端点逐一筛选。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

三角函数初步的重点是把单位圆、恒等式和三角形角边关系接起来。数值求解要保留象限与周期分支，几何求解则还要回到角和、严格三角不等式和可实现性。先判断需要消掉的是角、边还是周期，再选接口，能避免只凭主值或示意图漏解。

1. 先修与破题直觉：先统一角的单位，再在单位圆上读符号和分支。 $t = \frac{5 π}{6}$ 时 $sin t = \frac{1}{2} > 0$ 、 $cos t = - \frac{3}{2} < 0$ ；方程 $sin t = \frac{1}{2}$ 在 $[0, 2 π)$ 内有 $\frac{π}{6}$ 和 $\frac{5 π}{6}$ 两支，不能只取主值。

2. 核心条件辨析：已知 $sin t + cos t$ 只能定出 $sin t - cos t$ 的绝对值；三角形内角都在 $(0, π)$ 且和为 $π$ ，由正弦值反求角时先列出两支，再用大边对大角或角和筛选；射影定理是边乘邻角余弦之和等于第三边；约去含角的因式前要单列它为零的情形。

3. 典型误区对比：先读边边角漏解、约去 $sin (A - B)$ 丢掉一支、射影定理对角与邻角混用三组红绿卡，再做自测。每解出一个角，都回到角和与边的大小关系检查一次。

4. 方法迁移带练：把边边角例换成 $A = 3 0^{\circ}$ 、 $a = 2$ 、 $c = 2$ ： $sin C = \frac{c s i n A}{a} = \frac{2}{2}$ ，又 $c > a$ 使 $C > 3 0^{\circ}$ ，所以 $C = 4 5^{\circ}$ 或 $13 5^{\circ}$ ，两支的 $B$ 分别为 $10 5^{\circ}$ 、 $1 5^{\circ}$ ，都合法。用余弦定理核对： $2 = b^{2} + 4 - 23 b$ ，即 $b^{2} - 23 b + 2 = 0$ ，得 $b = 3 + 1$ 或 $3 - 1$ ，与两支一一对应。

5. 分级真题实战：先练“平方恒等式消元”和“统一周期与象限”，再练“列尽角或长度分支并回代”；之后进入“角和、符号与可达性夹范围”，最后用“边角关系换接口”和“射影定理、正切恒等式与解三角形消元”做综合题。本专题题量有限，完成后按页下练习说明进入关联专题。

本专题当前共配备 7 道省预赛真题（P009756、P009880、P010043、P010142、P010206、P010662、P010940），6 张方法卡均已配齐 2–3 道本专题真题。由于联赛一试中的三角与解三角形高频综合题大量分布在恒等变换、三角极值与平面几何模块，建议完成本专题基础训练后，直接前往关联综合拓展专题 FR011（三角恒等变换，60 题）、FR013（三角函数综合，48 题）、FR014/FR015（平面向量及其数量积应用） 及 FR035（平面几何综合，136 题，含正余弦/射影/塞瓦与圆幂综合） 继续进阶训练。

先修（培玉高中数学）：任意角和弧度制三角函数的概念诱导公式三角恒等变换

知识要点

先统一角的单位

一个整周为 $2 π$ 弧度，也等于 $36 0^{\circ}$ ，所以 $π /6 = 3 0^{\circ}$ 。角的数值直接写成 $1$ 、 $2$ 等而未标度数时，通常采用弧度。比较大角的三角函数前，应先以 $2 π$ 化归；不能把数值相同的度数与弧度当作同一个角，也不能在同一算式中混用单位。

单位圆同时控制数值和符号

单位圆点的坐标为 $(cos t, sin t)$ ，因此 $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ ；正切只在 $cos t \neq = 0$ 时定义。例如 $t = 3 π /4$ 时，正弦为 $2 /2$ 、余弦为 $- 2 /2$ ，正切为 $- 1$ 。平方计算只能得到绝对值，最终符号仍由象限、角的范围或题目本身的绝对值决定。

和差的平方可以消去乘积项

由平方和为一可得 $(sin t + cos t)^{2} + (sin t - cos t)^{2} = 2$ 。已知和就能求差的绝对值，反之亦然。例如和为 $1$ 时，差的绝对值也为 $1$ ，但差可以为正也可以为负，不能擅取一个符号。跨角的平方差则可用 $sin^{2} u - sin^{2} v = sin (u + v) sin (u - v)$ 。

诱导关系后还要比较绝对值

正弦、余弦按 $2 π$ 周期重复，正切按 $π$ 周期重复；此外 $sin (π - t) = sin t$ 、 $cos (π - t) = - cos t$ 。例如 $0 < t < π /6$ 时， $sin t > 0$ ，而 $- cos t$ 与 $- tan t$ 均为负；由 $sin t < 1/2 < cos^{2} t$ 得 $- cos t < - tan t < sin t$ 。同为负数时别只比较其绝对值而忘记反向。

同一个函数值通常对应两支角

在一个整周期内， $sin t = 1/2$ 对应 $t = π /6$ 或 $5 π /6$ ； $cos t = - 1/2$ 对应 $t = 2 π /3$ 或 $4 π /3$ 。完整实数解还要分别加上 $2 kπ$ ，其中 $k \in Z$ 。多个角的条件联立时，先组合全部分支，再把候选化到同一周期；求最小正值时必须排除零并比较所有正代表。

三角形内角限制比单个三角方程更强

三角形内角均在 $(0, π)$ ，且和为 $π$ ，因此每个内角的正弦为正；锐角三角形的每个角还小于 $π /2$ 。例如 $7 0^{\circ}, 6 5^{\circ}, 4 5^{\circ}$ 能组成锐角三角形，并按大小严格排列。求角的准确范围，既要从角和推出必要界，也要构造范围内的每个值；端点能否取到由非退化、锐角与严格大小关系共同决定。

正弦定理、余弦定理、射影定理与正切恒等式

在三角形中，正弦定理 $a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 R$ 适合把边的齐次关系化成角的关系；余弦定理 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 适合已知夹角与邻边，或以待求边建立二次方程。例如两邻边为 $3, 4$ 、夹角为直角时，对边平方为 $25$ ，故长为 $5$ 。由 $sin A = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C$ 结合正弦定理，立得射影定理 $a = b cos C + c cos B$ （同理 $b = c cos A + a cos C, c = a cos B + b cos A$ ），遇到形如 $b cos C + c cos B$ 的混合项可一键还原为单边 $a$ 。此外，在非直角三角形（ $A, B, C \neq = π /2$ ）中，由 $tan (A + B) = - tan C$ 展开可得正切恒等式 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ 。约去正弦或边长前，要明确其来自非退化三角形。

一角两边可能有两个合法三角形

已知一角、其对边与另一边时，并非总能唯一确定三角形。例如 $A = 3 0^{\circ}, a = 1, c = 3$ ，以 $b$ 为未知量的余弦定理给 $b^{2} - 3 b + 2 = 0$ ，所以 $b = 1$ 或 $2$ 。两组边长都满足严格三角不等式，且由余弦定理还原同一角 $A$ 。示意图通常只画出一种位置，不能代替对另一个分支的合法性检查。

方法卡

已知正弦余弦的和或差，或两个正弦的平方差：用平方恒等式消元

$sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ 能把和、差、积互相换算；两个不同角的正弦平方差，则能写成两个正弦的乘积。平方之后只知道绝对值，符号还要另外定。

完整讲解 · 例题 · 可练 3 题

一、是什么

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

以原点为圆心画半径为 $1$ 的圆，叫单位圆。从点 $(1, 0)$ 出发沿圆逆时针转过角 $t$ ，到达的点横坐标叫 $cos t$ ，纵坐标叫 $sin t$ ，两者的比是 $tan t = \frac{sin t}{cos t}$ （要求 $cos t \neq = 0$ ）。这个点到原点的距离是 $1$ ，由勾股定理得 $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ 。一圈是 $36 0^{\circ}$ ，也是 $2 π$ 弧度，所以 $π = 18 0^{\circ}$ ， $\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}$ ， $\frac{π}{4} = 4 5^{\circ}$ ， $\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}$ 。象限决定正负：第一象限横、纵坐标都正，第二象限横负纵正，第三象限都负，第四象限横正纵负。三角形内角在 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 之间，点在上半圆，所以内角的正弦总是正数。锐角 $t$ 放进斜边为 $1$ 的直角三角形，对边就是纵坐标，邻边就是横坐标，所以 $sin t$ 是对边比斜边， $cos t$ 是邻边比斜边。由边比 $1 : 3 : 2$ 和 $1 : 1 : 2$ 读出： $3 0^{\circ}$ 到达 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ， $4 5^{\circ}$ 到达 $(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ ， $6 0^{\circ}$ 到达 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 。转 $18 0^{\circ} - t$ 的点与转 $t$ 的点左右对称，所以 $sin (18 0^{\circ} - t) = sin t$ ， $cos (18 0^{\circ} - t) = - cos t$ 。

同一个角：和、差、积三个量互相换算

把和平方： $(sin t + cos t)^{2} = sin^{2} t + cos^{2} t + 2 sin t cos t = 1 + 2 sin t cos t$ 。把差平方： $(sin t - cos t)^{2} = 1 - 2 sin t cos t$ 。两式都只含乘积 $sin t cos t$ ，所以知道和、差、积中的一个，就能求出另两个的平方。例如和为 $\frac{1}{2}$ 时， $2 sin t cos t = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$ ，差的平方为 $1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ 。

平方只给绝对值，符号要另找依据

由差的平方是 $\frac{7}{4}$ ，只能得到 $∣ sin t - cos t ∣ = \frac{7}{2}$ ，差本身可正可负。题目若问绝对值，到这里就结束。若问差本身，要用角的范围定符号：比如 $0 < t < π$ 时点在上半圆， $sin t > 0$ ；再由 $sin t cos t < 0$ 得 $cos t < 0$ ，所以 $sin t - cos t > 0$ 。根式也会给出范围： $sin x$ 要有意义，就要求 $sin x \geq 0$ 。

先看一道例题

例 1：由差求三次方的差

已知 $sin t - cos t = \frac{1}{2}$ ，求 $sin^{3} t - cos^{3} t$ 。

怎么看出来：

三次方的差可以分解，分解后只含差和乘积，而乘积能由差的平方求出，不需要知道 $t$ 是多少。

解：

平方得 $1 - 2 sin t cos t = \frac{1}{4}$ ，所以 $2 sin t cos t = \frac{3}{4}$ ， $sin t cos t = \frac{3}{8}$ 。用 $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ （展开右边就能验证），取 $x = sin t, y = cos t$ ，得 $sin^{3} t - cos^{3} t = (sin t - cos t) (sin^{2} t + cos^{2} t + sin t cos t) = \frac{1}{2} (1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8}$ 。这里差已经给定，不用另外定符号。

答案：

$sin^{3} t - cos^{3} t = \frac{11}{16}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给出 $sin t + cos t$ 或 $sin t - cos t$ 的值	平方，先求乘积 $sin t cos t$
给出 $sin t cos t$ ，问和或差	先算和或差的平方，再定符号
条件含 $sin x$ 这样的式子	它限定了正负，开平方时用它选符号（ $l g cos x$ 同样限定正负，见进阶“对数给的范围”）
边的关系形如 $a^{2} - b^{2} = \dots$ ，每一项次数相同	用正弦定理换成 $sin^{2} A - sin^{2} B$ ，再写成乘积（见进阶“正弦平方差与三角形”）

三、怎么用

判断是不是同一个角。 $sin t + cos t = \frac{1}{2}$ （ $0 < t < π$ ）里两个函数的角都是 $t$ ，可以用 $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ 。两个不同的角见进阶。
两边平方，求出乘积。 $1 + 2 sin t cos t = \frac{1}{4}$ ，所以 $2 sin t cos t = - \frac{3}{4}$ 。
求需要的量的平方。 $(sin t - cos t)^{2} = 1 - 2 sin t cos t = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ 。
开平方时看题目问什么：问绝对值就取非负值；问本身就定符号。这里问差本身： $0 < t < π$ 给出 $sin t > 0$ ，乘积为负给出 $cos t < 0$ ，所以差为正， $sin t - cos t = \frac{7}{2}$ 。
代回检查。和的平方加差的平方应为 $2$ ： $\frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 2$ ，成立。

四、再做一道

例 2：用范围定出符号

已知 $0 < t < π$ ， $sin t + cos t = \frac{7}{13}$ ，求 $sin t, cos t$ 和 $tan t$ 。

怎么看出来：

要的是每个值本身，所以差的符号必须定下来。范围 $0 < t < π$ 给出 $sin t > 0$ 。

解：

平方得 $2 sin t cos t = \frac{49}{169} - 1 = - \frac{120}{169} < 0$ 。因 $sin t > 0$ ，所以 $cos t < 0$ ， $sin t - cos t > 0$ 。又 $(sin t - cos t)^{2} = 1 + \frac{120}{169} = \frac{289}{169}$ ，得 $sin t - cos t = \frac{17}{13}$ 。与和联立： $sin t = \frac{1}{2} (\frac{7}{13} + \frac{17}{13}) = \frac{12}{13}$ ， $cos t = \frac{1}{2} (\frac{7}{13} - \frac{17}{13}) = - \frac{5}{13}$ ， $tan t = \frac{s i n t}{c o s t} = - \frac{12}{5}$ 。检查： $\frac{144 + 25}{169} = 1$ ，和为 $\frac{7}{13}$ 。

答案：

$sin t = \frac{12}{13}, cos t = - \frac{5}{13}, tan t = - \frac{12}{5}$ 。

五、容易错在哪

$sin^{2} u + sin^{2} v = 1$ 一般不成立。 $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ 只对同一个角成立。
由 $(sin t - cos t)^{2} = \frac{7}{4}$ 不能直接写 $sin t - cos t = \frac{7}{2}$ ，要有符号依据。
进阶里约去 $sin (A - B)$ 这类因子前要先单列它为零的情况；只有内角的正弦才能直接确认是正数。
进阶里由 $sin (A - B) = sin B$ 不能只写 $A - B = B$ ，还要考虑 $A - B = π - B$ ，再判断它能否成立。

进阶：正弦平方差与三角形 · 先修：和角公式、正弦定理

两个不同的角：正弦平方差公式

公式是 $sin^{2} u - sin^{2} v = sin (u + v) sin (u - v)$ 。推导要用和角公式 $sin (u \pm v) = sin u cos v \pm cos u sin v$ ：右边展开得 $(sin u cos v + cos u sin v) (sin u cos v - cos u sin v) = sin^{2} u cos^{2} v - cos^{2} u sin^{2} v$ ，再把 $cos^{2} v$ 换成 $1 - sin^{2} v$ ，把 $cos^{2} u$ 换成 $1 - sin^{2} u$ ，交叉项抵消，只剩 $sin^{2} u - sin^{2} v$ 。检查： $u = 6 0^{\circ}, v = 3 0^{\circ}$ 时左边 $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ，右边 $sin 9 0^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 。

放进三角形：和角变成第三个角

下面都用通常记号： $a, b, c$ 是角 $A, B, C$ 的对边。正弦定理说 $a : b : c = sin A : sin B : sin C$ ，所以每一项次数相同的边关系可以直接换成正弦，例如 $a^{2} = b^{2} + b c$ 变成 $sin^{2} A - sin^{2} B = sin B sin C$ 。又因 $A + B + C = π$ ，有 $sin (A + B) = sin (π - C) = sin C$ ，左边等于 $sin C sin (A - B)$ 。 $C$ 是内角， $sin C > 0$ ，所以可以约去。

例 3：两个角的平方差

在 $△ A BC$ 中， $a^{2} = b^{2} + b c$ ，且 $a = 3 b$ 。求三个内角。

怎么看出来：

$a^{2} - b^{2} = b c$ 每一项都是两条边相乘，次数相同，可以换成正弦，左边正好是两个角的平方差。

解：

换成正弦： $sin^{2} A - sin^{2} B = sin B sin C$ 。左边等于 $sin (A + B) sin (A - B) = sin C sin (A - B)$ 。约去 $sin C > 0$ ，得 $sin (A - B) = sin B$ 。右边为正，所以 $A - B$ 在 $(0, π)$ 内，于是 $A - B = B$ ，或 $A - B = π - B$ 。后者给出 $A = π$ ，不可能，所以 $A = 2 B$ 。再由 $\frac{a}{b} = \frac{s i n 2 B}{s i n B}$ 和二倍角公式 $sin 2 B = 2 sin B cos B$ ，得 $\frac{a}{b} = 2 cos B = 3$ ，所以 $cos B = \frac{3}{2}$ ， $B = 3 0^{\circ}$ ， $A = 6 0^{\circ}$ ， $C = 9 0^{\circ}$ 。检查：此时 $c = 2 b$ ， $b^{2} + b c = 3 b^{2} = a^{2}$ 。

答案：

$A = 6 0^{\circ}, B = 3 0^{\circ}, C = 9 0^{\circ}$ 。

进阶：对数给的范围 · 先修：对数

对数也会限定正负

$l g M = y$ 表示 $1 0^{y} = M$ 。 $1 0^{y}$ 总是正数，所以 $l g M$ 要有意义就要求 $M > 0$ ，例如 $l g cos x$ 要求 $cos x > 0$ 。由 $1 0^{p} \cdot 1 0^{q} = 1 0^{p + q}$ 得 $l g M + l g N = l g (MN)$ 。例如 $l g sin x + l g cos x = - 1$ ：先得 $sin x, cos x$ 都为正；合并得 $l g (sin x cos x) = - 1$ ，即 $sin x cos x = \frac{1}{10}$ ；于是 $(sin x + cos x)^{2} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ ，两者都为正，所以和为 $\frac{6}{5} = \frac{30}{5}$ 。

进阶：根式给的范围

例 4：由根式的范围定符号

实数 $x$ 满足 $sin x \cdot cos x = \frac{1}{2}$ ，求 $sin x + cos x$ 。

怎么看出来：

两边平方得到乘积，就能求和的平方。根式的值不为零，说明 $sin x, cos x$ 都是正数，和只能取正。

解：

平方得 $sin x cos x = \frac{1}{4}$ ，所以 $(sin x + cos x)^{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 。两者都为正，取正根 $\frac{3}{2} = \frac{6}{2}$ 。这样的 $x$ 确实存在：差的平方是 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ，取 $sin x = \frac{6 - 2}{4}, cos x = \frac{6 + 2}{4}$ ，两者都为正，平方和为 $\frac{( 8 - 4 3 ) + ( 8 + 4 3 )}{16} = 1$ ，所以单位圆上有这个点，乘积为 $\frac{6 - 2}{16} = \frac{1}{4}$ 。

答案：

$sin x + cos x = \frac{6}{2}$ 。

真题

按这个方法练 · 3 题

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角很大或有几个角的方程：用周期化到一圈内，再按象限比较和求最小角

角转一圈后函数值不变，所以大角可以先化到一圈内，再看它落在哪个象限。方程有几个可能的角时，全部列出来，放到同一圈里比较。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

先分清度和弧度

没有写度数符号的角就是弧度，所以 $sin 10$ 是 $10$ 弧度的正弦，不是 $sin 1 0^{\circ}$ 。两者差别很大： $sin 10 < 0$ （下面会证明），而 $sin 1 0^{\circ} > 0$ 。

周期：什么时候可以减去整圈

角加 $2 π$ 回到单位圆上同一个点，所以 $sin (t + 2 π) = sin t$ ， $cos (t + 2 π) = cos t$ 。正切的周期更短：角加 $π$ 走到正对面的点，横纵坐标都变号，比值不变，所以在正切有定义的地方， $tan (t + π) = tan t$ 。正弦、余弦不能用 $π$ 当周期： $tan \frac{5 π}{4} = tan \frac{π}{4} = 1$ ，但 $sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2} \neq = sin \frac{π}{4}$ 。

定位：用圆周率的范围证明角在哪一段

要判断 $10$ 弧度在哪，不能只说“约等于”，要用 $3.14 < π < 3.15$ 写出严格的上下界。例如 $3 π < 3 \times 3.15 = 9.45 < 10$ ，且 $\frac{13 π}{4} > \frac{13 \times 3.14}{4} = 10.205 > 10$ ，所以 $3 π < 10 < 3 π + \frac{π}{4}$ 。检查放缩方向：要证某个倍数的 $π$ 比给定的数小，用 $π$ 的上界算；要证它比给定的数大，用 $π$ 的下界算。

比较：先比正负，再用锐角 $r$ 比大小

第一步看象限分正负，正数一定大于负数。同号时写成锐角 $r$ ：第二象限 $t = π - r$ ，点是 $(- cos r, sin r)$ ；第三象限 $t = π + r$ ，点是 $(- cos r, - sin r)$ 。再比 $sin r, cos r$ ： $r < \frac{π}{4}$ 时点在直线 $y = x$ 下方， $sin r < cos r$ ； $r > \frac{π}{4}$ 时点在直线 $y = x$ 上方， $sin r > cos r$ ，此时 $tan r = \frac{s i n r}{c o s r} > 1$ 。负数比较时绝对值大的反而小。

先看一道例题

例 1：减去整圈

求 $\frac{17 π}{6}$ 的正弦、余弦和正切。

怎么看出来：

角超过 $2 π$ ，先减去一圈。

解：

$\frac{17 π}{6} = 2 π + \frac{5 π}{6}$ ，所以值与 $\frac{5 π}{6}$ 相同。 $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ 在第二象限，所以取 $r = \frac{π}{6} = 3 0^{\circ}$ ，点是 $(- cos r, sin r) = (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 。于是 $sin = \frac{1}{2}$ ， $cos = - \frac{3}{2}$ ， $tan = \frac{1}{2} \div (- \frac{3}{2}) = - \frac{1}{3} = - \frac{3}{3}$ 。

答案：

$\frac{1}{2}, - \frac{3}{2}, - \frac{3}{3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
角很大，如 $\frac{17 π}{6}$ 、 $202 5^{\circ}$	减去整数圈，化到一圈内
三角函数里的角是不带 $π$ 的数，如 $sin 10$	这是弧度，用 $π$ 的范围定位
角由一串计算得出，如 $1 + 2 + \dots + 6$ ，或把 $100$ 写成不同的 $2$ 的幂之和后的指数和	先把角的数值算出来。 $100 = 64 + 32 + 4 = 2^{6} + 2^{5} + 2^{2}$ ，指数和是 $6 + 5 + 2 = 13$ ，再定位
比较 $sin, cos, tan$ 在同一个角的大小	先看正负，同号再写成锐角 $r$ ，和 $\frac{π}{4}$ 比较
已知两个含不同角的方程，求最小正角	每个方程列全部的角，搭配后化到同一圈（见进阶“几个角的方程”）

三、怎么用

确认单位，把角的计算做完。比较 $sin 17, cos 17, tan 17$ ：没有度数符号， $17$ 是弧度。
化到一圈内。 $4 π$ 是两整圈，把角写成 $17 = 4 π + (π + r)$ ，其中 $r = 17 - 5 π$ 。
用严格的上下界定位。 $5.25 π < 5.25 \times 3.15 = 16.5375 < 17$ ， $5.5 π > 5.5 \times 3.14 = 17.27 > 17$ ，所以 $\frac{π}{4} < r < \frac{π}{2}$ ， $17$ 与 $π + r$ 同点，在第三象限。
比较问题先读正负，同号再比绝对值。点是 $(- cos r, - sin r)$ ，所以 $sin 17 = - sin r < 0$ ， $cos 17 = - cos r < 0$ ， $tan 17 = tan r > 0$ 。 $r > \frac{π}{4}$ 给出 $sin r > cos r$ ，变负后 $- sin r < - cos r$ 。结论： $tan 17 > cos 17 > sin 17$ 。
方程问题列全所有搭配；求最小正角时把每个结果化到 $(0, 2 π]$ 再比较，并排除 $0$ （见进阶“几个角的方程”）。

四、再做一道

例 2：角由计算得出

设 $n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$ 。把 $sin n, cos n, tan n$ 从大到小排列。

怎么看出来：

先算出 $n = 21$ 。这是弧度，要用 $π$ 的范围找到它所在的段。

解：

$6 π + \frac{π}{2} = 6.5 π < 6.5 \times 3.15 = 20.475 < 21$ ， $6 π + \frac{3 π}{4} = 6.75 π > 6.75 \times 3.14 = 21.195 > 21$ 。所以 $21 - 6 π$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ 内，是第二象限。令 $r = π - (21 - 6 π)$ ，则 $\frac{π}{4} < r < \frac{π}{2}$ ，点是 $(- cos r, sin r)$ 。由 $r > \frac{π}{4}$ ， $0 < cos r < sin r$ 。于是 $sin 21 = sin r > 0$ ； $cos 21 = - cos r$ 是负数但大于 $- 1$ ； $tan 21 = - \frac{s i n r}{c o s r} < - 1$ 。所以 $cos 21 > tan 21$ 。

答案：

$sin n > cos n > tan n$ 。

五、容易错在哪

$sin 10$ 和 $sin 1 0^{\circ}$ 是两个不同的数，同一个算式不能混用度和弧度。
正切的周期是 $π$ ，正弦和余弦的周期是 $2 π$ ；减去奇数个 $π$ 时正弦、余弦要变号。
只算出 $10$ 约等于 $3.18 π$ 就判断象限不算证明，要写出严格的上下界。
两个负数比较时，绝对值大的反而小。
进阶方程里，只取最小的角（如 $sin α = \frac{3}{2}$ 只取 $\frac{π}{3}$ ）会漏掉最小正角所在的那一组。

进阶：几个角的方程

几个角的方程：先列全，再组合

$sin α = \frac{3}{2}$ 在一圈内有 $\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$ 两个角； $cos θ = \frac{2}{2}$ 也有 $\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$ 两个角。若还有 $cos (α + β) = \frac{2}{2}$ ，每种搭配都要算，一共 $2 \times 2 = 4$ 种，用 $β = (α + β) - α$ ，结果为负就加 $2 π$ ： $\frac{π}{4} - \frac{π}{3} = - \frac{π}{12}$ 化成 $\frac{23 π}{12}$ ； $\frac{7 π}{4} - \frac{π}{3} = \frac{17 π}{12}$ ； $\frac{π}{4} - \frac{2 π}{3} = - \frac{5 π}{12}$ 化成 $\frac{19 π}{12}$ ； $\frac{7 π}{4} - \frac{2 π}{3} = \frac{13 π}{12}$ 。比较四个结果，最小正角是 $\frac{13 π}{12}$ 。“最小正角”要大于 $0$ ，算出 $0$ 也不能要；比如 $sin β = 0$ 的最小正角是 $π$ 。

例 3：两个方程取公共解

在 $0 \leq x < 2 π$ 内，求同时满足 $cos 2 x = \frac{1}{2}$ 和 $sin 3 x = 1$ 的所有 $x$ 。

怎么看出来：

两个方程的周期不同， $x$ 走一圈时 $2 x$ 走 $2$ 圈， $3 x$ 走 $3$ 圈。分别列全，再取公共部分。

解：

$2 x \in [0, 4 π)$ ，所以 $2 x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3}, \frac{11 π}{3}$ ，即 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ 。 $3 x \in [0, 6 π)$ ，正弦为 $1$ 只在 $3 x = \frac{π}{2}, \frac{5 π}{2}, \frac{9 π}{2}$ ，即 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$ 。公共的是 $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ 。检查： $x = \frac{5 π}{6}$ 时 $cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{5 π}{2} = 1$ ；而 $x = \frac{3 π}{2}$ 时 $cos 3 π = - 1$ ，要舍去。

答案：

$x = \frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ 。

进阶：同号时比大小

例 4：同号时比绝对值

把 $sin 10, cos 10, tan 10$ 从大到小排列。

怎么看出来：

$10$ 接近 $3 π$ ，减去 $3 π$ 后是很小的正数。先分正负。

解：

由 $3 π < 9.45 < 10$ 和 $\frac{13 π}{4} > 10.205 > 10$ ， $r = 10 - 3 π$ 满足 $0 < r < \frac{π}{4}$ 。 $10 = 2 π + (π + r)$ ，在第三象限，点是 $(- cos r, - sin r)$ ： $sin 10 = - sin r < 0$ ， $cos 10 = - cos r < 0$ ， $tan 10 = tan r > 0$ 。又 $sin r < cos r$ ，两边变负后反向： $- cos r < - sin r$ 。

答案：

$tan 10 > sin 10 > cos 10$ 。

真题

按这个方法练 · 2 题

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由三角函数值求角、一角两边求边：列出所有可能，再逐个筛选

一个三角函数值通常对应两个角，一个二次方程通常有两个根。先全部写出来，再用角和、边的大小和能否画出三角形逐个判断，不能凭一张图删掉。

完整讲解 · 例题 · 可练 3 题

一、是什么

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

一圈内通常有两个角

单位圆上纵坐标为 $\frac{1}{2}$ 的点有两个，左右对称，所以 $sin t = \frac{1}{2}$ 有 $t = \frac{π}{6}$ 和 $π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ 。横坐标相同的点上下对称，所以 $cos t = \frac{1}{2}$ 有 $t = \frac{π}{3}$ 和 $t = - \frac{π}{3}$ 。全部解再加 $2 kπ$ （ $k$ 是整数）。

三角形里：正弦有两种可能，余弦只有一种

内角在 $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ 内。角增大时点沿上半圆向左走，横坐标一直变小，所以余弦值唯一确定内角。正弦却不然， $t$ 和 $18 0^{\circ} - t$ 的正弦相同： $sin C = \frac{3}{2}$ 时 $C = 6 0^{\circ}$ 或 $12 0^{\circ}$ 。所以由正弦求内角要列两个，由余弦求内角只有一个。

筛选：角和、大边对大角

三个内角和必须正好是 $18 0^{\circ}$ ，算出 $A + C \geq 18 0^{\circ}$ 的那一组就要舍去。 $a, b, c$ 是角 $A, B, C$ 的对边。从 $C$ 向直线 $A B$ 作高，高既等于 $b sin A$ ，也等于 $a sin B$ ，所以 $a : b = sin A : sin B$ ，这就是正弦定理。于是 $sin A < sin B$ 等价于 $a < b$ ，又等价于 $A < B$ （大边对大角）。所以若已知 $B$ 是锐角且 $sin A < sin B$ ，那么 $A < B$ ， $A$ 也是锐角，钝角那个直接排除。

先看一道例题

例 1：复合角要列两圈

解方程 $sin 2 x = \frac{3}{2}$ ，其中 $0 \leq x < 2 π$ 。

怎么看出来：

$x$ 走一圈时 $2 x$ 走两圈，每圈两个角，一共四个。

解：

$2 x \in [0, 4 π)$ ，要列两圈。第一圈正弦为 $\frac{3}{2}$ 的角是 $\frac{π}{3}$ 和 $π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ ；第二圈各加 $2 π$ ，得 $\frac{7 π}{3}, \frac{8 π}{3}$ 。两边除以 $2$ 。

答案：

$x = \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{7 π}{6}, \frac{4 π}{3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知 $sin t$ 的值，要求角	写两个： $t$ 和 $π - t$ ，再看范围
三角形中给了一个角的正弦和另一个角的余弦	先判断前者是锐角还是钝角，用大边对大角或角和筛选
方程含 $sin 2 x$ 而 $x$ 在一圈内	$2 x$ 的范围是两圈，两圈都要列
已知一角、对边和另一边，求第三边	用余弦定理列二次方程，两个根都检查（见进阶“一角两边：几个三角形”）
两个三角形的角之间有三角函数关系	每一对角都列所有可能，再用两个三角形各自的角和筛选（见进阶“两个三角形”）

三、怎么用

写出角的范围；复合角 $2 x$ 要先算 $2 x$ 的范围。例如 $△ A BC$ 中 $A = 12 0^{\circ}$ 、 $sin C = \frac{1}{2}$ ： $C$ 是内角， $0^{\circ} < C < 18 0^{\circ}$ 。
列出范围内所有的角。 $sin C = \frac{1}{2}$ 给出 $C = 3 0^{\circ}$ 或 $C = 15 0^{\circ}$ 。
逐个筛选：内角要在 $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ 内，内角和要等于 $18 0^{\circ}$ ，大边对大角。这里 $A + C < 18 0^{\circ}$ 要求 $C < 6 0^{\circ}$ ，所以 $15 0^{\circ}$ 舍去。
留下的结果代回原条件。 $C = 3 0^{\circ}$ 时 $sin C = \frac{1}{2}$ ， $B = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ} > 0^{\circ}$ ，三角和为 $18 0^{\circ}$ ，成立。

四、再做一道

例 2：用大边对大角选出正确的角

在 $△ A BC$ 中， $sin A = \frac{3}{5}$ ， $cos B = \frac{5}{13}$ ，求 $cos C$ 。

怎么看出来：

$cos B$ 定出唯一的 $B$ ，但 $sin A$ 对应一个锐角和一个钝角，要判断是哪一个。

解：

由 $cos B = \frac{5}{13} > 0$ ， $B$ 是锐角， $sin B = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}$ 。又 $cos^{2} A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ，所以 $cos A = \pm \frac{4}{5}$ 。因 $sin A = \frac{3}{5} < \frac{12}{13} = sin B$ ，得 $a < b$ ，所以 $A < B$ ， $A$ 也是锐角， $cos A = \frac{4}{5}$ 。由内角和， $C = 18 0^{\circ} - (A + B)$ ，所以 $cos C = - cos (A + B)$ 。余弦和角公式是 $cos (u + v) = cos u cos v - sin u sin v$ （检查： $u = v = 3 0^{\circ}$ 时左边 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，右边 $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ）。代入得 $cos (A + B) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = - \frac{16}{65}$ 。

答案：

$cos C = \frac{16}{65}$ 。

五、容易错在哪

由 $sin t = \frac{1}{2}$ 求三角形内角时，不能只取 $\frac{π}{6}$ ，还要检查 $\frac{5 π}{6}$ 。
示意图通常只画出一种情况。不能因为图上只有一个三角形，就删掉二次方程的另一个根。
长度为正不等于三角形存在，还要满足三角不等式或用坐标确认。
两个三角形的角有关系时，每一组都要满足各自的角和，不能只看其中一个角。

进阶：一角两边：几个三角形 · 先修：余弦定理

存在性：坐标算一遍

长度为正还不够，还要任意两边之和大于第三边。要确认一组结果真的存在，最直接的办法是把三角形放进坐标系算一遍：把 $A$ 放在原点， $B = (c, 0)$ ， $C = (b cos A, b sin A)$ ，再算 $BC$ 是否等于 $a$ 。

一角两边为什么可能有两个三角形

已知角 $A$ 、它的对边 $a$ 和另一边 $c$ ，就是从点 $B$ 出发，以 $a$ 为半径画圆，看它与角 $A$ 的另一条边交在哪里。可能交于两点、一点或不相交。用余弦定理 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 求 $b$ ，得到关于 $b$ 的二次方程，正根的个数就是三角形的个数。

例 3：对边变化时有几个三角形

在 $△ A BC$ 中， $A = 6 0^{\circ}$ ， $c = 3$ 。当对边 $a$ （ $a > 0$ ）变化时，满足条件的三角形有几个？

怎么看出来：

这就是以 $B$ 为圆心、 $a$ 为半径的圆与角 $A$ 另一条边的交点个数。用余弦定理列 $b$ 的方程，数正根就行。

解：

$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，所以 $a^{2} = b^{2} + 9 - 3 b$ ，即 $b^{2} - 3 b + 9 - a^{2} = 0$ 。每个正根 $b$ 都对应一个三角形：取 $A = (0, 0), B = (3, 0), C = (\frac{b}{2}, \frac{3 b}{2})$ ，由这个方程， $BC$ 正好等于 $a$ 。判别式是 $4 a^{2} - 27$ ，两根之和是 $3$ ，两根之积是 $9 - a^{2}$ 。 $a < \frac{3 3}{2}$ 时判别式为负，没有根。 $a = \frac{3 3}{2}$ 时有重根 $b = \frac{3}{2}$ ，此时 $C = 9 0^{\circ}$ 。 $\frac{3 3}{2} < a < 3$ 时积为正、和为正，两根都为正。 $a = 3$ 时两根是 $0$ 和 $3$ ，只有 $b = 3$ 。 $a > 3$ 时积为负，只有一个正根。验算： $a = 7$ 落在第三种范围，方程 $b^{2} - 3 b + 2 = 0$ 给出 $b = 1, 2$ 。

答案：

$a < \frac{3 3}{2}$ 时 $0$ 个； $a = \frac{3 3}{2}$ 或 $a \geq 3$ 时 $1$ 个； $\frac{3 3}{2} < a < 3$ 时 $2$ 个。

进阶：两个三角形

例 4：两个三角形逐对列

两个三角形的内角分别是 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 和 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ ，且 $sin A_{1} = sin A_{2}, sin B_{1} = sin B_{2}, sin C_{1} = sin C_{2}$ 。证明这两个三角形的三个角对应相等。

怎么看出来：

每一对内角要么相等，要么互补。按“有几对互补”分情况，用角和筛选。

解：

设互补的有 $k$ 对。若 $k = 0$ ，三对都相等，结论成立。若 $k \geq 2$ ，比如 $A_{2} = π - A_{1}, B_{2} = π - B_{1}$ ，则 $A_{2} + B_{2} = 2 π - (A_{1} + B_{1}) = π + C_{1} > π$ ，不可能。若 $k = 1$ ，比如 $A_{2} = π - A_{1}, B_{2} = B_{1}, C_{2} = C_{1}$ ，第二个三角形的角和给出 $π - A_{1} + B_{1} + C_{1} = π$ ，即 $A_{1} = B_{1} + C_{1}$ 。结合 $A_{1} + B_{1} + C_{1} = π$ ，得 $A_{1} = \frac{π}{2}$ ，于是 $A_{2} = \frac{π}{2} = A_{1}$ ，这一对其实也相等。所以三对角都相等。

答案：

两个三角形的三个角必定对应相等。

真题

按这个方法练 · 3 题

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求三角形内角的范围、判断角的类型：用角和、符号夹出范围，再举例说明取得到

先用内角和与“锐角”“大小顺序”这些条件夹出范围，再反过来说明范围里每个值都能出现。两步都做了，范围才算对。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

符号能告诉你角的类型

内角的正弦总为正；余弦却能分辨类型： $cos A > 0$ 表示 $A$ 是锐角， $cos A = 0$ 表示直角， $cos A < 0$ 表示钝角。因此看到 $cos A$ 等于某个内角的正弦，立刻知道 $cos A > 0$ ， $A$ 是锐角。角从 $0^{\circ}$ 增大到 $18 0^{\circ}$ 时，点沿上半圆向左走，所以余弦一直变小。

把内角和写进条件，用已知的界换掉别的角

求一个角的范围，就把其他角用已知的界代替。例如 $A > B > C$ 时，最大角 $A$ 满足 $3 A > A + B + C = 18 0^{\circ}$ ，所以 $A > 6 0^{\circ}$ ；若是锐角三角形，再加 $A < 9 0^{\circ}$ 。求中间的角也一样：比如 $A > B > C$ 且 $A < 10 0^{\circ}$ ，则 $B + C = 18 0^{\circ} - A > 8 0^{\circ}$ ，又 $C < B$ ，所以 $2 B > B + C > 8 0^{\circ}$ ， $B > 4 0^{\circ}$ 。

夹出来的只说明“一定在里面”，还要说明能取到

推导只说明“角一定在这个范围内”，没说明范围内每个值都能出现。要补上：任取范围内一个值 $t$ ，给出另外两个角的取法，并检查它们满足全部条件。写得出来这一步，范围才算确定。

端点能不能取，看条件是否严格

$A > B > C$ 的 $A > 6 0^{\circ}$ 中， $6 0^{\circ}$ 取不到，因为等号需要三角相等。若条件改成 $A \geq B \geq C$ ，等边三角形就符合， $6 0^{\circ}$ 能取到。同样，锐角三角形的角不能等于 $9 0^{\circ}$ ，内角也不能等于 $0$ 。

先看一道例题

例 1：最大角的范围

锐角三角形的三个内角满足 $A > B > C$ ，求 $A$ 的范围。

怎么看出来：

$A$ 是最大的角，用它替换另外两个角，代入内角和。

解：

由 $B, C < A$ ，得 $18 0^{\circ} = A + B + C < 3 A$ ，所以 $A > 6 0^{\circ}$ ；又是锐角， $A < 9 0^{\circ}$ 。反过来，任取 $t \in (6 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$ ，令 $A = t$ ，要让 $B + C = 18 0^{\circ} - t$ 。设两者的平均值是 $m = 9 0^{\circ} - \frac{t}{2}$ ，则 $m < 6 0^{\circ} < t$ 。取 $B$ 为 $m, t$ 的中点 $\frac{t + m}{2}$ ， $C$ 是 $B$ 关于 $m$ 的对称值 $2 m - B$ ，这样 $B + C = 2 m = 18 0^{\circ} - t$ ，且 $C < m < B < t < 9 0^{\circ}$ 。代入得 $C = 13 5^{\circ} - \frac{5}{4} t$ ， $t < 9 0^{\circ}$ 时 $C > 22. 5^{\circ} > 0^{\circ}$ 。例如 $t = 7 0^{\circ}$ 时， $m = 5 5^{\circ}$ ， $B = 62. 5^{\circ}, C = 47. 5^{\circ}$ ，三角和为 $18 0^{\circ}$ 。

答案：

$6 0^{\circ} < A < 9 0^{\circ}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
条件写着“锐角三角形”，要求角或比值的范围	三个角都小于 $9 0^{\circ}$ ，都用上，并把其余角写成同一个角
给了内角的大小顺序，如 $A > B > C$	用它替换其他角，再代入内角和
要求某个三角函数值的范围	先求角的范围，再看点沿圆怎么走，转到函数值
问三角形是什么类型	看余弦的符号
一个角的正弦等于另一个角的余弦，可能在两个三角形之间	余弦为正，那个角是锐角；再考虑互余和相差直角两种情况（见进阶）

三、怎么用

写出全部条件。例如 $△ A BC$ 中 $A = 2 B$ ，三个角是 $2 B, B, 18 0^{\circ} - 3 B$ ，每个都要大于 $0^{\circ}$ 。
把其余的角都用同一个角表示，夹出范围。 $18 0^{\circ} - 3 B > 0^{\circ}$ 给出 $B < 6 0^{\circ}$ ，所以 $0^{\circ} < B < 6 0^{\circ}$ 。
反过来任取范围内一个值，构造出三个角。任取这样的 $B$ ，三个角都为正，和为 $18 0^{\circ}$ ，所以每个值都能取到。
判断端点。 $B = 6 0^{\circ}$ 时第三个角是 $0^{\circ}$ ， $B = 0^{\circ}$ 也不是三角形，两端都取不到。
若求函数值的范围，再看单调性。余弦随角增大而变小，所以 $cos 6 0^{\circ} < cos B < cos 0^{\circ}$ ，即 $\frac{1}{2} < cos B < 1$ 。

四、再做一道

例 2：锐角条件要用三次

锐角 $△ A BC$ 中， $B = 2 A$ ， $a, b$ 是 $A, B$ 的对边。求 $A$ 的范围和 $\frac{b}{a}$ 的范围。

怎么看出来：

三个角都能用 $A$ 表示，三个“小于 $9 0^{\circ}$ ”都要写。

解：

三个角是 $A, 2 A, 18 0^{\circ} - 3 A$ 。 $A < 9 0^{\circ}$ ， $2 A < 9 0^{\circ}$ 给出 $A < 4 5^{\circ}$ ， $18 0^{\circ} - 3 A < 9 0^{\circ}$ 给出 $A > 3 0^{\circ}$ 。反过来， $3 0^{\circ} < A < 4 5^{\circ}$ 时三个角都是正的锐角，和为 $18 0^{\circ}$ ，每个值都能取到。边比用正弦定理：从 $C$ 向 $A B$ 作高，高等于 $b sin A$ ，也等于 $a sin B$ ，所以 $\frac{b}{a} = \frac{s i n B}{s i n A} = \frac{s i n 2 A}{s i n A}$ 。用二倍角公式 $sin 2 A = 2 sin A cos A$ （检查： $A = 3 0^{\circ}$ 时左边 $\frac{3}{2}$ ，右边 $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ ），因 $sin A > 0$ 可约去，得 $\frac{b}{a} = 2 cos A$ 。余弦随角增大而变小，所以 $2 cos 4 5^{\circ} < 2 cos A < 2 cos 3 0^{\circ}$ 。任取 $v \in (2, 3)$ ，横坐标为 $\frac{v}{2}$ 的点对应一个 $3 0^{\circ}$ 与 $4 5^{\circ}$ 之间的 $A$ ，所以每个值都能取到。

答案：

$3 0^{\circ} < A < 4 5^{\circ}$ ， $2 < \frac{b}{a} < 3$ 。

五、容易错在哪

只推出“一定在这个范围内”还不够，没有说明每个值都取得到，范围可能偏大。
锐角条件要对三个角都用。只写所求的角小于 $9 0^{\circ}$ ，常常得到过大的范围。
由 $sin A = sin D$ 得 $A = D$ 时，要先确认两个角都是锐角；否则还有 $A = 18 0^{\circ} - D$ 。
严格的 $>$ 与 $\geq$ 决定端点能否取到；直角或内角为 $0$ 的情况不属于锐角三角形。
用一个具体的三角形只能说明“存在”，不能用来证明所有三角形都如此。

进阶：正弦等于余弦：互余与相差直角

判断类型：互余还是相差直角

转 $t$ 和转 $9 0^{\circ} - t$ 的点关于直线 $y = x$ 对称，横纵坐标互换，所以 $cos B = sin (9 0^{\circ} - B)$ 。 $B$ 是锐角时， $sin A = cos B$ 就是 $sin A = sin (9 0^{\circ} - B)$ 。正弦相等的内角要么相等，要么互补，所以 $A = 9 0^{\circ} - B$ 或 $A = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - B) = 9 0^{\circ} + B$ 。若已知 $A$ 是锐角，点沿第一象限走时纵坐标一直变大，正弦不重复，只剩 $A = 9 0^{\circ} - B$ 。要说明“不可能是某种三角形”，可以假设它是，再用角和推矛盾。

例 3：两种情况都要算

在 $△ A BC$ 中， $sin A = cos B$ 且 $A > B$ 。求 $B$ 的范围，并判断三角形的类型。

怎么看出来：

$cos B = sin A > 0$ ，所以 $B$ 是锐角， $\frac{π}{2} - B$ 也在 $(0, \frac{π}{2})$ 内。而正弦值相等的内角有两种：相等或互补。

解：

$sin A = sin (9 0^{\circ} - B)$ ，所以 $A = 9 0^{\circ} - B$ 或 $A = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - B) = 9 0^{\circ} + B$ 。第一种： $C = 9 0^{\circ}$ ， $A > B$ 给出 $B < 4 5^{\circ}$ ，任何 $0^{\circ} < B < 4 5^{\circ}$ 都行。第二种： $A$ 是钝角， $C = 18 0^{\circ} - A - B = 9 0^{\circ} - 2 B > 0^{\circ}$ ，同样 $B < 4 5^{\circ}$ ；此时 $A > B$ 自动成立。两种情况下， $B$ 的范围相同。

答案：

$0^{\circ} < B < 4 5^{\circ}$ ；三角形是直角三角形（ $C = 9 0^{\circ}$ ）或钝角三角形（ $A = 9 0^{\circ} + B$ ）。

例 4：假设存在，推出矛盾

是否存在三角形，满足 $sin A = cos B, sin B = cos C, sin C = cos A$ ？

怎么看出来：

三个余弦都等于正弦，全是正数，所以三个角都是锐角，于是可以只留下互余这一种情况。

解：

三个余弦都为正，所以 $A, B, C$ 都是锐角。于是 $A$ 和 $9 0^{\circ} - B$ 都在 $(0^{\circ}, 9 0^{\circ})$ 内，正弦相等，得 $A = 9 0^{\circ} - B$ ，即 $A + B = 9 0^{\circ}$ 。这样 $C = 9 0^{\circ}$ ，与 $C$ 是锐角矛盾。

答案：

不存在。

例 5：两个三角形之间的正弦和余弦

第一个三角形的内角是 $4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 7 5^{\circ}$ ，第二个三角形的内角 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 的正弦分别等于 $cos 4 5^{\circ}, cos 6 0^{\circ}, cos 7 5^{\circ}$ 。求 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 。

怎么看出来：

第一个三角形的每个角 $t$ 都是锐角，第二个三角形对应的角只有 $9 0^{\circ} - t$ 和 $9 0^{\circ} + t$ 两种可能，再用角和筛选。

解：

$A_{2}$ 是 $4 5^{\circ}$ 或 $13 5^{\circ}$ ， $B_{2}$ 是 $3 0^{\circ}$ 或 $15 0^{\circ}$ ， $C_{2}$ 是 $1 5^{\circ}$ 或 $16 5^{\circ}$ 。三个都取小的，和是 $9 0^{\circ}$ ；把一个换成大的，分别多 $9 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$ 。要和为 $18 0^{\circ}$ ，只能多 $9 0^{\circ}$ ，也就是把 $A_{2}$ 换成 $13 5^{\circ}$ ，换两个以上至少多 $21 0^{\circ}$ ，都超过。检查： $sin 13 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ}$ ， $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}$ ， $sin 1 5^{\circ} = cos 7 5^{\circ}$ ，且 $13 5^{\circ} + 3 0^{\circ} + 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$ 。

答案：

$A_{2} = 13 5^{\circ}, B_{2} = 3 0^{\circ}, C_{2} = 1 5^{\circ}$ 。

真题

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三角形里边和角混在一起：用正弦定理化成角，或用余弦定理求边

一个式子里边和角同时出现时不好算，要统一。每一项边的次数相同时，用正弦定理把边换成角；已知角要求边时，用余弦定理列方程。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

正弦定理：边和对角的正弦成比例

公式是 $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$ 。为什么：从 $C$ 向直线 $A B$ 作高，这条高既等于 $b sin A$ ，也等于 $a sin B$ （钝角时 $sin (18 0^{\circ} - t) = sin t$ ，结果一样），所以 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ ；换一条高得到另一个等号。这个公共比值记作 $k$ ，这样 $a = k sin A$ 。例如 $A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}, a = 1$ 时， $b = \frac{s i n 9 0 ^{\circ}}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 2$ 。

什么时候能把边换成正弦

把 $a = k sin A$ 等代入，每一项都带上相同次数的 $k$ ，才能约掉。这要求每一项边的次数相同，这样的式子叫齐次式。 $2 a cos B = c$ 两边都是一次，可以换。 $a^{2} = b$ 一边二次、一边一次，不能换。

余弦定理：两边和夹角定第三边

公式是 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 。为什么：把 $A$ 放在原点， $B = (c, 0)$ ， $C = (b cos A, b sin A)$ ，则 $a^{2} = (b cos A - c)^{2} + b^{2} sin^{2} A = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 。反过来， $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ ，可以由三边求角。

怎么选：看要消掉什么

齐次的边关系、三角形的角要参与运算：用正弦定理化成角。已知两边和夹角求第三边，已知三边或三边之比求角：用余弦定理。已知一角、对边和另一边：用余弦定理列第三边的二次方程，例如 $A = 4 5^{\circ}, a = 5, c = 22$ 时 $5 = b^{2} + 8 - 4 b$ ，得 $b = 1$ 或 $3$ ，两个根都要检查。

先看一道例题

例 1：两边和夹角

在 $△ A BC$ 中， $b = 5, c = 3, A = 12 0^{\circ}$ ，求 $a$ 。

怎么看出来：

已知两边和它们的夹角，第三边唯一确定，直接用余弦定理。

解：

$12 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ ，所以 $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。于是 $a^{2} = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (- \frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$ 。边长为正。

答案：

$a = 7$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知两边和夹角	用余弦定理直接求第三边
给了 $sin A : sin B : sin C$ 的比	就是三边之比，设出边长，用余弦定理求角
已知一角、对边和另一边	用余弦定理列二次方程，两个根都检查
边的等式里每一项次数相同，又有角，如 $a cos A = b cos B$	用正弦定理把边全换成正弦（见进阶“化成角之后”）
等式里 $sin A$ 和 $sin B, sin C$ 同时出现	把 $sin A$ 展开成 $sin (B + C)$ （见进阶“化成角之后”）
边的平方差，如 $a^{2} - b^{2} = b c$	换成正弦后用 $sin^{2} A - sin^{2} B = sin (A + B) sin (A - B)$ （讲解在本专题第一张卡）

三、怎么用

写清每条边对哪个角。已知 $b = 2, c = 3, A = 6 0^{\circ}$ 时， $a$ 对 $A$ ， $A$ 是 $b, c$ 的夹角。
判断用哪个公式。这里已知两边和夹角，用余弦定理；若是每项次数相同的边角等式，就换成正弦。
代入化简。 $a^{2} = 4 + 9 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7$ 。约去任何因子前，先确认它不为零。
解出角或边，列全所有可能。 $a^{2} = 7$ 的根是 $\pm 7$ ，边长为正，所以 $a = 7$ 。
代回原式，并检查三角不等式。 $cos A = \frac{4 + 9 - 7}{12} = \frac{1}{2}$ ，与 $A = 6 0^{\circ}$ 一致； $2 + 7 > 3$ ， $2 + 3 > 7$ ， $3 + 7 > 2$ 。

四、再做一道

例 2：正弦之比就是边之比

在 $△ A BC$ 中， $sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7$ ，求最大的内角。

怎么看出来：

由正弦定理，这就是三边之比。大边对大角，最大角对着 $7$ 。

解：

设 $a = 3 k, b = 5 k, c = 7 k$ （ $k > 0$ ）。 $cos C = \frac{9 k ^{2} + 25 k ^{2} - 49 k ^{2}}{2 \cdot 3 k \cdot 5 k} = \frac{- 15 k ^{2}}{30 k ^{2}} = - \frac{1}{2}$ ，公共的 $k^{2}$ 被约掉。内角的余弦值唯一确定角， $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ，所以 $C = 12 0^{\circ}$ 。

答案：

最大的内角是 $C = 12 0^{\circ}$ 。

五、容易错在哪

次数不同的式子不能直接把边换成正弦。
公式里的角要对应： $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 用的是 $a$ 的对角，也就是 $b, c$ 的夹角。
已知两边和其中一边的对角，三角形不一定唯一；已知两边和夹角才唯一。
约去 $sin A$ 前要明确它来自三角形内角； $cos A$ 或 $sin (A - B)$ 可能为零，不能直接约。

进阶：化成角之后 · 先修：和角公式、二倍角公式

化成角之后的固定动作

常用 $sin A = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C$ 把三个角减成两个角。例如 $2 sin B cos C = 2 sin A - sin C$ ，把 $sin A$ 展开， $2 sin B cos C$ 抵消，只剩 $sin C (2 cos B - 1) = 0$ 。内角的正弦不为零， $sin C$ 可以约去。若因子是 $cos A$ 或 $sin (A - B)$ ，它可能为零，要单独讨论。

例 3：化成角后两种情况都要留

在 $△ A BC$ 中， $a cos A = b cos B$ ，判断三角形的形状。

怎么看出来：

两边都是一次齐次式，把边换成正弦。此后要从 $sin 2 A = sin 2 B$ 解角，它有两种可能。

解：

换成正弦： $sin A cos A = sin B cos B$ 。两边乘 $2$ ，用 $sin 2 t = 2 sin t cos t$ ，得 $sin 2 A = sin 2 B$ 。正弦相等的两个角，要么相差 $2 π$ 的整数倍，要么和是 $π$ 加 $2 π$ 的整数倍。三角形中 $A + B < π$ ，所以 $0 < 2 A + 2 B < 2 π$ ，和只能是 $π$ ；又 $∣2 A - 2 B ∣ < 2 π$ ，差只能是 $0$ 。所以 $2 A = 2 B$ 或 $2 A + 2 B = π$ 。前者 $A = B$ ，后者 $A + B = \frac{π}{2}$ ， $C = \frac{π}{2}$ 。检查： $A + B = \frac{π}{2}$ 时 $cos A = \frac{b}{c}, cos B = \frac{a}{c}$ ，两边都等于 $\frac{ab}{c}$ 。

答案：

等腰三角形（ $a = b$ ）或直角三角形（ $C = 9 0^{\circ}$ ）。

例 4：展开和角消元

在 $△ A BC$ 中， $2 b cos C = 2 a - c$ ，求 $B$ 。

怎么看出来：

每一项都是一次，全换成正弦。三个角都出现，把 $sin A$ 展开就能减少一个角。

解：

换成正弦： $2 sin B cos C = 2 sin A - sin C$ 。把 $sin A = sin B cos C + cos B sin C$ 代入，得 $2 sin B cos C = 2 sin B cos C + 2 cos B sin C - sin C$ ，整理为 $sin C (2 cos B - 1) = 0$ 。 $C$ 是内角， $sin C > 0$ ，所以 $cos B = \frac{1}{2}$ 。检查：等边三角形中，左边 $2 a \cdot \frac{1}{2} = a$ ，右边 $2 a - a = a$ 。

答案：

$B = 6 0^{\circ}$ 。

进阶：由边反求角，再求范围 · 先修：和角公式、辅助角公式

例 5：由边的关系反求角，再求范围

在 $△ A BC$ 中， $a = 3$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ 。求 $A$ 和 $b + c$ 的范围。

怎么看出来：

条件正好是余弦定理的分子，能反求出 $A$ 。之后对边和对角都固定，比值 $k$ 就固定了， $b + c$ 可以全写成一个角 $B$ 的函数。

解：

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{1}{2}$ ，所以 $A = 6 0^{\circ}$ 。 $k = \frac{a}{sin A} = 3 \div \frac{3}{2} = 2$ ，所以 $b = 2 sin B$ ， $c = 2 sin (12 0^{\circ} - B)$ ，其中 $0^{\circ} < B < 12 0^{\circ}$ 。展开 $sin (12 0^{\circ} - B) = \frac{3}{2} cos B + \frac{1}{2} sin B$ ，得 $b + c = 3 sin B + 3 cos B = 23 sin (B + 3 0^{\circ})$ 。 $B + 3 0^{\circ}$ 取遍 $(3 0^{\circ}, 15 0^{\circ})$ ，这时正弦取遍 $(\frac{1}{2}, 1]$ ， $B = 6 0^{\circ}$ 时取到 $1$ ， $\frac{1}{2}$ 取不到。检查： $B = 6 0^{\circ}$ 时三边都是 $3$ ， $b + c = 23$ ；下界 $3$ 正是两边之和大于第三边给出的界。

答案：

$A = 6 0^{\circ}$ ， $3 < b + c \leq 23$ 。

真题

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三角形里出现边乘余弦或三个正切：用射影定理和正切恒等式消元

$b cos C + c cos B$ 就是第三边 $a$ ，可以整块替换。知道两个内角的正切，就能算出第三个，再由正负判断锐角还是钝角。

完整讲解 · 例题 · 可练 0 题

一、是什么

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

射影定理：两段投影拼成一条边

$a, b, c$ 是角 $A, B, C$ 的对边。从 $A$ 向 $BC$ 作高。 $B, C$ 都是锐角时，垂足在线段 $BC$ 内，把它分成长为 $c cos B$ 和 $b cos C$ 的两段，所以 $a = b cos C + c cos B$ （钝角时也成立，见进阶）。三条边各有一个这样的式子。例如边长 $3, 4, 5$ 的三角形中 $c = 5$ ， $a cos B + b cos A = 3 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{4}{5} = 5$ 。

由两个正切求第三个

$x y = 1$ 时分母为零，公式不能用。这时两个正切同号；内角最多一个钝角，所以都是正的， $A, B$ 是锐角。 $B$ 的余角 $9 0^{\circ} - B$ 也是锐角，横纵坐标与 $B$ 互换，所以 $tan (9 0^{\circ} - B) = \frac{1}{t a n B} = tan A$ 。锐角增大时正弦变大、余弦变小，正切一直变大，所以 $A = 9 0^{\circ} - B$ ， $C$ 是直角，要改用勾股定理或正弦、余弦定理。

分母为零的情况

$x y = 1$ 时分母为零，公式不能用。这时两个正切同号；内角最多一个钝角，所以都是正的， $A, B$ 是锐角。直角三角形里锐角与它的余角正切互为倒数，所以 $A + B = 9 0^{\circ}$ ， $C$ 是直角，要改用勾股定理或正弦、余弦定理。

由正切定角：负的就是钝角

内角的正切值唯一确定角： $tan C > 0$ 时 $C$ 是锐角， $tan C < 0$ 时 $C$ 是钝角。比如 $tan C = - 1$ 时， $tan (18 0^{\circ} - C) = 1$ ，所以 $18 0^{\circ} - C = 4 5^{\circ}$ ， $C = 13 5^{\circ}$ ，不是 $- 4 5^{\circ}$ 。

先看一道例题

例 1：整块换成第三边

在 $△ A BC$ 中， $(3 a - c) cos B = b cos C$ ，求 $cos B$ 和 $sin B$ 。

怎么看出来：

把含 $c$ 的项移到右边，就出现 $b cos C + c cos B$ ，正好是 $a$ 。

解：

展开得 $3 a cos B - c cos B = b cos C$ ，移项得 $3 a cos B = b cos C + c cos B = a$ 。约去 $a > 0$ ，得 $cos B = \frac{1}{3}$ 。 $B$ 是内角， $sin B > 0$ ，所以 $sin B = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}$ 。

答案：

$cos B = \frac{1}{3}, sin B = \frac{2 2}{3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
条件含 $b cos C + c cos B$ 这样的组合，或移项后能凑出	整块换成第三边
已知两个内角的正切	用 $tan C = \frac{x + y}{x y - 1}$ ，按正负判断锐钝
已知 $tan A tan B = 1$	这时 $C = 9 0^{\circ}$ ，改用勾股定理
三个内角的正切都是整数，或给出它们的和与积	用“和等于积”列方程（见进阶“正切的和等于积”）
条件含 $a^{2} - b^{2}$ 和 $sin (A - B)$	写成 $sin C sin (A - B)$ ，先讨论 $sin (A - B) = 0$ （见进阶“边的平方差”）

三、怎么用

看条件的形状。边乘余弦走第 2 步，两个正切走第 3 步。平方差见进阶。
边乘余弦：凑出射影定理，换成边，再约去正的边长。例如 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ ，左边是 $a$ ，所以 $a = 2 a cos A$ ；约去 $a > 0$ ，得 $cos A = \frac{1}{2}$ 。
正切：先确认没有直角，令 $x, y$ 代入公式， $x y = 1$ 时单独处理。例如 $tan A = 1, tan B = 2$ ， $x y = 2 \neq = 1$ ， $tan C = \frac{1 + 2}{2 - 1} = 3$ 。
由正负定角。上一步 $tan C = 3 > 0$ ， $C$ 是锐角；第 2 步 $cos A = \frac{1}{2}$ 给出 $A = 6 0^{\circ}$ 。
代回检查。 $A = 6 0^{\circ}$ 时 $2 a cos A = a$ ，成立；三个正切都为正，三个角都是锐角，符合内角和为 $18 0^{\circ}$ 的要求，比如 $tan A = 1$ 给出 $A = 4 5^{\circ}$ 。

四、再做一道

例 2：由正切定角再求边

在 $△ A BC$ 中， $tan A = \frac{1}{2}, tan B = \frac{1}{3}, c = 5$ 。求 $C$ 和 $a, b$ 。

怎么看出来：

给了两个正切，直接求第三个。算出来的负值说明 $C$ 是钝角。

解：

$tan C = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{6} - 1} = \frac{\frac{5}{6}}{- \frac{5}{6}} = - 1$ ，所以 $C = 13 5^{\circ}$ ， $sin C = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ 。两个正切都为正，所以 $A, B$ 是锐角。取直角边为 $1, 2$ 的直角三角形， $A$ 的对边是 $1$ ，邻边是 $2$ ，正切是 $\frac{1}{2}$ ，斜边由勾股定理是 $5$ ，所以 $sin A = \frac{1}{5}$ 。同样取直角边 $1, 3$ ，斜边 $10$ ， $sin B = \frac{1}{10}$ 。正弦定理说 $\frac{a}{c} = \frac{s i n A}{s i n C}$ ，所以 $a = \frac{c sin A}{sin C} = 5 \cdot \frac{1}{5} \div \frac{2}{2} = 2$ ， $b = \frac{c sin B}{sin C} = 5 \cdot \frac{1}{10} \div \frac{2}{2} = 1$ 。检查： $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 2 + 1 + 2 = 5 = c^{2}$ 。

答案：

$C = 13 5^{\circ}, a = 2, b = 1$ 。

五、容易错在哪

正切公式不能用于含直角的三角形，因为 $tan 9 0^{\circ}$ 没有定义。
$tan C = - 1$ 时内角是 $13 5^{\circ}$ ，不要写成负角或 $4 5^{\circ}$ 。
$tan A tan B = 1$ 时不能代公式，分母为零说明 $C$ 是直角。
$b cos B + c cos C$ 不是 $a$ 。射影定理里，每条边乘的是第三边端点上、与它相邻的角的余弦。
进阶平方差里， $sin (A - B)$ 可能为零，约去它会丢掉等腰的情况。

进阶：钝角时的射影与易混式子 · 先修：和差化积

钝角时射影定理也成立

$B$ 是钝角时，从 $A$ 向直线 $BC$ 作垂线，垂足落在 $CB$ 延长线上（ $B$ 的外侧，点的顺序是垂足、 $B$ 、 $C$ ），这时 $a$ 等于两段长度相减： $a = b cos C - c ∣ cos B ∣$ ，而 $cos B < 0$ ，写出来还是 $a = b cos C + c cos B$ 。 $c cos B$ 这样的量叫带正负的投影，长度只取它的绝对值。代数证明： $sin A = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C$ ，两边乘正弦定理的比值 $k$ 就得到这个式子。

认准公式：边乘的是另一个角的余弦

在 $b cos C + c cos B$ 中， $C$ 是边 $b$ 的一个端点， $B$ 是边 $c$ 的一个端点，而 $B, C$ 正好是第三边 $a$ 的两端。 $b cos B + c cos C$ 是每条边乘它对角的余弦，结果不是 $a$ 。设外接圆半径为 $R$ ， $a = 2 R sin A$ ，用和差化积算：它等于 $R (sin 2 B + sin 2 C) = 2 R sin (B + C) cos (B - C) = a cos (B - C)$ 。只有 $B = C$ 时才等于 $a$ 。

进阶：正切的和等于积

正切恒等式：和等于积

把 $tan C = \frac{tan A + tan B}{tan A tan B - 1}$ 两边乘分母整理，得 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ 。它要求三个角都不是直角，否则 $tan 9 0^{\circ}$ 没有定义。检查： $tan A = \frac{1}{2}, tan B = \frac{1}{3}, tan C = - 1$ 时，和与积都是 $- \frac{1}{6}$ 。三角形最多一个钝角，所以三个正切中最多一个为负。

例 3：正切恒等式解整数

$△ A BC$ 三个内角的正切都是正整数，求这三个正切值。

怎么看出来：

三个未知数只有一个方程，但它们都是正整数，用“和等于积”限制大小。

解：

设三个值为 $x \leq y \leq z$ ，则 $x + y + z = x yz$ 。因 $x + y + z \leq 3 z$ ，有 $x yz \leq 3 z$ ， $x y \leq 3$ 。可能是 $(x, y) = (1, 1), (1, 2), (1, 3)$ 。 $(1, 1)$ ： $2 + z = z$ ，无解。 $(1, 2)$ ： $3 + z = 2 z$ ， $z = 3$ 。 $(1, 3)$ ： $4 + z = 3 z$ ， $z = 2 < y$ ，不符合假设。检查： $1 + 2 + 3 = 6 = 1 \times 2 \times 3$ 。这样的三角形存在，因为正切为 $1, 2$ 的两个锐角之和小于 $π$ ，第三个角正切由公式得 $\frac{3}{2 - 1} = 3$ 。

答案：

三个正切值为 $1, 2, 3$ 。

进阶：边的平方差 · 先修：和角公式、正弦定理

边的平方差配正弦

由正弦定理， $a^{2} - b^{2}$ 换成正弦要乘同一个系数： $a^{2} - b^{2} = k^{2} (sin^{2} A - sin^{2} B)$ ，而 $sin^{2} A - sin^{2} B = sin (A + B) sin (A - B) = sin C sin (A - B)$ 。这个式子含 $sin (A - B)$ ，它可能为零（即 $A = B$ ），约去前要单独讨论。

例 4：平方差里约因子前先讨论

在 $△ A BC$ 中， $a^{2} - b^{2} = c^{2} sin (A - B)$ ，判断三角形的形状。

怎么看出来：

左边是边的平方差，换成正弦后也含 $sin (A - B)$ ，所以这个因子可能为零，不能直接约。

解：

换成正弦： $sin^{2} A - sin^{2} B = sin^{2} C sin (A - B)$ ，即 $sin C sin (A - B) = sin^{2} C sin (A - B)$ 。约去 $sin C > 0$ ： $sin (A - B) (1 - sin C) = 0$ 。所以 $sin (A - B) = 0$ ，因 $- π < A - B < π$ ，得 $A = B$ ；或 $sin C = 1$ ，即 $C = 9 0^{\circ}$ 。检查： $A = B$ 时两边都是 $0$ ； $C = 9 0^{\circ}$ 时 $sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{c ^{2}}$ ，也成立。

答案：

等腰三角形（ $a = b$ ）或直角三角形（ $C = 9 0^{\circ}$ ）。

真题

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误区对照

容易误以为

在 $△ A BC$ 中，已知 $A = 3 0^{\circ}, a = 1, c = 3$ ，求边 $b$ ：由正弦定理 $sin C = \frac{c sin A}{a} = \frac{3}{2}$ ，只取锐角 $C = 6 0^{\circ}$ 得 $B = 9 0^{\circ}, b = 2$ ，漏掉另一解。

应当这样想

因为 $c > a$ ，所以 $C > A = 3 0^{\circ}$ ， $sin C = \frac{3}{2}$ 在 $(3 0^{\circ}, 15 0^{\circ})$ 内有两个合法解： $C = 6 0^{\circ}$ （此时 $B = 9 0^{\circ}, b = 2$ ）或 $C = 12 0^{\circ}$ （此时 $B = 3 0^{\circ}, b = 1$ ）。若直接对未知边 $b$ 列余弦定理 $1 = b^{2} + 3 - 23 b cos 3 0^{\circ} ⟹ b^{2} - 3 b + 2 = 0$ ，立得两正根 $b = 1$ 或 $2$ ，不易漏解。

为什么

已知锐角 $A$ 、对边 $a$ 与邻边 $c$ （SSA）且满足 $c sin A < a < c$ 时，固定线段 $A B = c$ 与射线 $A C$ ，以顶点 $B$ 为圆心、 $a$ 为半径的圆弧与射线 $A C$ 相交于两个不同点 $C_{1}, C_{2}$ ，分别对应一锐一钝两个角 $C$ ；用余弦定理化为关于第三边 $b$ 的一元二次方程可自动包含这两个合法分支。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中，由 $(a^{2} - b^{2}) sin (A + B) = (a^{2} + b^{2}) sin (A - B)$ 化为正弦后，直接约去 $sin (A - B)$ 或只保留 $A = B$ 。

应当这样想

用正弦定理把 $a^{2}, b^{2}$ 换为 $sin^{2} A, sin^{2} B$ ，并利用 $sin (A + B) = sin C$ 与 $sin^{2} A - sin^{2} B = sin (A + B) sin (A - B) = sin C sin (A - B)$ ，原式化为 $sin (A - B) [sin^{2} C - (sin^{2} A + sin^{2} B)] = 0$ ，即 $sin (A - B) = 0$ （ $A = B$ ，等腰）或 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ （ $C = 9 0^{\circ}$ ，直角），两支均需保留。

为什么

解三角形中的因式分解方程 $F \cdot G = 0$ 往往同时编码了“等腰（角差为零）”与“直角（勾股关系为零）”两类几何构型，不能未讨论零因子就直接约去 $sin (A - B)$ 。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中化简 $b cos B + c cos C$ 时，误套射影定理直接写成 $b cos B + c cos C = a$ 。

应当这样想

射影定理是“边乘邻角余弦之和等于第三边”，即 $b cos C + c cos B = a$ ；而 $b cos B + c cos C$ 是“边乘对角余弦”，应由正弦定理化为 $2 R (sin B cos B + sin C cos C) = R (sin 2 B + sin 2 C) = 2 R sin (B + C) cos (B - C) = a cos (B - C)$ ，仅当 $B = C$ 时才等于 $a$ 。

为什么

从顶点 $A$ 向 $BC$ 作高，边 $b, c$ 在底边 $BC$ 上的有向投影分别为 $b cos C$ 与 $c cos B$ ，故二者之和恒为 $a$ ；而 $b cos B + c cos C = a cos (B - C)$ 多了一个夹角差余弦因子。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 9 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

F1 1 题

2015 年山西预赛第 2 题填空题

三角函数初步

从这里开始

先列分支，再用范围筛选

知识要点

方法卡

已知正弦余弦的和或差，或两个正弦的平方差：用平方恒等式消元

一、是什么

先认识 sin,cos,tan：单位圆上一个点的坐标

同一个角：和、差、积三个量互相换算

平方只给绝对值，符号要另找依据

先看一道例题

例 1：由差求三次方的差

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：用范围定出符号

五、容易错在哪

两个不同的角：正弦平方差公式

放进三角形：和角变成第三个角

例 3：两个角的平方差

对数也会限定正负

例 4：由根式的范围定符号

角很大或有几个角的方程：用周期化到一圈内，再按象限比较和求最小角

一、是什么

先认识 sin,cos,tan：单位圆上一个点的坐标

先分清度和弧度

周期：什么时候可以减去整圈

定位：用圆周率的范围证明角在哪一段

比较：先比正负，再用锐角 r 比大小

先看一道例题

例 1：减去整圈

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：角由计算得出

五、容易错在哪

几个角的方程：先列全，再组合

例 3：两个方程取公共解

例 4：同号时比绝对值

由三角函数值求角、一角两边求边：列出所有可能，再逐个筛选

一、是什么

先认识 sin,cos,tan：单位圆上一个点的坐标

一圈内通常有两个角

三角形里：正弦有两种可能，余弦只有一种

筛选：角和、大边对大角

先看一道例题

例 1：复合角要列两圈

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：用大边对大角选出正确的角

五、容易错在哪

存在性：坐标算一遍

一角两边为什么可能有两个三角形

例 3：对边变化时有几个三角形

例 4：两个三角形逐对列

求三角形内角的范围、判断角的类型：用角和、符号夹出范围，再举例说明取得到

一、是什么

先认识 sin,cos,tan：单位圆上一个点的坐标

符号能告诉你角的类型

把内角和写进条件，用已知的界换掉别的角

夹出来的只说明“一定在里面”，还要说明能取到

端点能不能取，看条件是否严格

先看一道例题

例 1：最大角的范围

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：锐角条件要用三次

五、容易错在哪

判断类型：互余还是相差直角

例 3：两种情况都要算

例 4：假设存在，推出矛盾

例 5：两个三角形之间的正弦和余弦

三角形里边和角混在一起：用正弦定理化成角，或用余弦定理求边

一、是什么

先认识 sin,cos,tan：单位圆上一个点的坐标

正弦定理：边和对角的正弦成比例

什么时候能把边换成正弦

余弦定理：两边和夹角定第三边

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

比较：先比正负，再用锐角 $r$ 比大小

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标

先认识 $sin, cos, tan$ ：单位圆上一个点的坐标