易混 2023 年福建预赛 · P006663
两题都先在一对变量的和固定时把它们合并，并核两量相等的构形。是否能用“均分”给出所需方向的界，必须由系数的符号或函数的凸性说明，不能因式子对称便直接设相等。
一题对余弦和作上界后仍有一个角要优化，另一题归一化后利用严格凸性直接取得两项和的下界。
培玉 · 一试
2022 年福建预赛
三角余弦和的最大值
F2填空题三角函数综合
已知 ，且 ，则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
固定 时，余弦和在 处最大；问题随即化成关于 的一元最值。
解答
由和差化积，
所以原式不超过
求导得
因 ，故最大值在 ，即 处取得，为
复核
取 时满足题设，并使两次放缩同时取等号。
方法总结
含两个变量的余弦和且只给定它们的和时，先用和差化积完成对称化，再处理剩余的一元函数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
用和差化积令alpha=beta给定和下最大，再求2sin gamma(1+cos gamma)的一元极值，并核gamma=pi/3及alpha=beta=pi/6可达，模型常规。
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