2024 年甘肃预赛

定义 ${\mathbb{N}}_{+}$ 上的函数

其中 $d_1,d_2,\dots ,d_s$ 为 $n$ 的所有正因数。若 $\sigma (n)=2n$，则称正整数 $n$ 为完美数。例如，

因此 $6$ 是一个完美数；而

因此 $9$ 不是完美数。

1. (1)

   判断 $\sigma (23),\sigma (88),\sigma (2024)$ 满足的数量关系，并说明理由；

2. (2)

   已知 $2^k-1$ 为素数，求证：$2^{k-1}(2^k-1)$ 是完美数；

3. (3)

   是否存在完美数 $q$，其可表示为某个正整数的平方？若存在，求出 $q$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由。