2025 年北京预赛

思路

进阶另解中的 $P^{\prime }(t)/P(t)=\sum 1/(t-x_i)$ 来自乘积求导；Newton 不等式是基本对称式的课外比较，在本题四元情形提供 $e_2\le 3S^2/8$、$S{e}_3\le 4e_2^2/9$。先明确这些额外工具，再读另解；初等路线只用平方和及正数取倒数。

想法从哪来：先看目标右端的分母，倒推每项应放缩成什么样才能相加。 若一项能压到 $d/[abcd(a+b+c+d)]$，四项循环相加就会自动消去分子中的总和。因此先试分母下界 $abc(a+b+c+d)$，需要证明的局部式便只涉及 $a,b,c$；它又可以配成平方和。 这条路线从通分后的结构反推放缩目标，避免一开始就将四项全通分成长多项式。归一化、对数导数和 Newton 不等式可作进阶另解，但不是找到初等证明的必要步骤。

观察单个分母 $a^4+b^4+c^4+abcd$：前三个四次幂可由均值不等式（或平方和配方）下界估计为 $abc(a+b+c)$，加上 $abcd$ 后恰好提取公因式 $abc(a+b+c+d)$，倒数随之变成 $\frac{d}{abcd(a+b+c+d)}$，四项循环相加分子刚好约去 $a+b+c+d$。若从对称多项式角度出发，也可将 $abcd$ 归一化为 $1$，把四个倒数和写成四次多项式的对数导数 $P^{\prime }(1+S)/P(1+S)$，再用四元 Newton 不等式归结为二次函数端点验证。