同一骨架 2022 年重庆预赛 · P006777
当题目控制平方和及全部两两乘积之和时，整体展开和的平方通常比逐个求变量更直接。向量情形可利用中心处的零和；对数换元后的标量情形则要保留开平方带来的全部合法符号。
前题几何对称性直接给出向量和为零；后题先取对数得到标量二次关系，最终总和的两种符号都可能还原为正的原变量。
培玉 · 一试
2022 年贵州预赛
正四面体中心向量内积和
F2填空题向量的数量积与几何意义
甲烷分子 的四个氢原子位于棱长为 的正四面体的四个顶点，碳原子 位于正四面体的中心 。记四个氢原子分别为 ，则
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
正四面体中心到四个顶点的向量和为零。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
对这个向量和取模平方，六个两两内积的总和便可由四个向量的模长求出。
解答
令
由正四面体的重心与外心重合，
棱长为 的正四面体外接球半径为 ，故 。于是
因此
复核
任意两条中心到顶点的向量内积均为 ，六对之和同样为 ，与向量和平方的计算一致。
方法总结
正单纯形中，中心到各顶点的向量和为零。遇到全体两两内积之和时，对向量和取模平方通常比逐项计算更稳定。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
四个中心到顶点的向量和为零，展开其模平方即可把六个点积和化为四个等模平方，半径代入属常规。
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