2024 年广东预赛

解答

令 $b_n=a_n/2024^{n-1}$。则对 $n\ge 2$，

从而

记

若 $a_1<S$，递增的部分和最终会超过 $a_1$，于是某个 $a_n\le 0$。若 $a_1=S$，括号内等于严格为正的级数尾和，所以所有 $a_n>0$。故最小值就是 $S$。

取 $r=1/2024$，利用 ${\sum }_{k=1}^{\infty }k{r}^{k-1}=1/(1-r{)}^2$，得到