易混 2023 年贵州预赛 · P006691
多个不同底数的对数相等，可统一设公共指数参数；但归一化后要再看底数结构。未必都能化成同一种多项式，有时用严格单调性确认特殊解，有时利用底数间的幂关系直接解代数方程。
前题将指数和除以一项后，两个真分数底数给严格递减函数；后题归一化后两个指数项互为平方，可用一个正变量求解并筛去负根。
培玉 · 一试
2026 年广东预赛
三个不同底数对数相等求乘积
F2填空题幂指对
已知
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
三个对数相等，令其公共值为 ，即可把原式化为只含 的指数方程。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
再用单调性确认所求解唯一。
解答
令三个对数的公共值为 。则
两边平方得
也就是
式 (1) 左边关于 严格递减，而 时左边等于 ，故这是唯一解。于是
复核
均为正数，三个对数有定义；且 ，三个对数都等于 。
方法总结
多底数对数相等时，统一设为指数参数通常能把变量全部消去。若所得指数方程看出一个特殊解，应再用单调性排除其他实根。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
公共值t是直接换元，归一化后两底数均小于1，验t=1/2并用严格递减证唯一。
联系 · 2 条
同一骨架 2015 年天津预赛 第 4 题 · P010358
指数和方程可先除以最大底数对应的幂（其值始终为正），把它化为若干真分数底数的幂之和等于常数。全实轴严格递减给唯一性，而是否存在根仍需用已知取值或特殊解单独确认。
前题先从共同对数消去原变量，并能识别一个特殊指数；后题不要求根的精确值，只需在两个整数间夹出交点，再用全域单调排除其余根。
已记下，谢谢！