2023 年内蒙古预赛

解答

设两个球心圆半径为$\rho$，层间距为$h>0$。同层球心距至少为$4$。 每个球心在同层至多有两个距离为$4$的点；在另一层同样至多有两个距离为$4$的点， 因为两圆分别与以该点为球心、半径$4$的球相交至多于两点。 每球恰与四球相切，故同层、异层都恰接触两个球。

同层的接触点沿圆周位于该点两侧，角间距都是$\theta =2\arcsin (2/\rho )$。 两点之间不能插入其他球心，否则与端点距离小于$4$。所以沿整圆相邻球心间距均为$\theta$， 每层都是正多边形。两层共用$\rho$且边长都为$4$，边数相同；共八球，所以每层四球， $\theta =\pi /2$，$\rho =2\sqrt{2}$。

因$h>0$，跨层接触点的水平距离小于$4$，对应角间距$\delta <\pi /2$。 每个下层球心的两个上层接触球心位于$\pm \delta$方向；上层正方形迫$2\delta =\pi /2$， 所以两层错开$\pi /4$。于是

上下球各离对应底面$2$，圆柱高为$\boxed{4+\sqrt{8\sqrt{2}}}$。