2025 年江西预赛

思路

对正数 $x$ 与正整数 $n$，均值不等式给 $x^n+n-1\ge nx$，$n=1$ 时为恒等式。倒数和的柯西形式为 $\sum 1/u_i\ge k^2/\sum u_i$，要求所有 $u_i>0$。

想法从哪来：分母是两条边和的乘积，若分子能凑成这两个一次因子的和，就能拆成简单倒数。分子中的幂次先用均值不等式线性化：一个幂与若干个一相加，可以压住相应倍数的一次项。再利用三变量和固定，把常数项也转成一次式。 凑式时不要把分子里的所有常数一次用完，留出一个一，剩余部分才恰好匹配两分母因子的和。于是目标拆成两组倒数和，第一组用分母总和固定估计，第二组用二次分母总和上界估计。这样复杂幂次只参与一次标准线性化，后续全是对称和的控制。最后在三变量全相等处检查每一步等号，包括最小幂次的情形。

把每个分子的一个常数 $1$ 留到最后统一估计；其余部分利用 $x^n+n-1\ge nx$，恰好拆成两个分母一次因子的倒数。两组轮换和分别用柯西不等式。