2012 年河南预赛 · 第 12 题

解答

设 $P=(u,v)$，$u^2+v^2=16$。在伸缩坐标中记 $\mathbf{p}=(u/2,v)$、$R=|\mathbf{p}{|}^2=u^2/4+v^2$，则 $R\in [4,16]$。令 $J$ 表示旋转九十度，单位圆的两切点为 ${\mathbf{z}}_{\pm }=(\mathbf{p}\pm \sqrt{R-1}J\mathbf{p})/R$。原切点 $A,B$ 由 $L=\mathrm{diag}(2,1)$ 还原，故 $A+B=2P/R$。记 $D=L^{T}L=\mathrm{diag}(4,1)$；有 ${\mathbf{p}}^{T}D\mathbf{p}=16$，而 $(J\mathbf{p}{)}^{T}D(J\mathbf{p})=5R-16$。于是 $A\cdot B=(16-(R-1)(5R-16))/R^2=21/R-5$。因此 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=16-P\cdot (A+B)+A\cdot B=11-11/R$。该式随 $R$ 严格递增，得到 $\boxed{\min =33/4,\max =165/16}$。