培玉 · 一试

专题地图 › 组合计数综合

2024 年广东预赛

F1解答题组合计数综合

设有限集 $A, B, C \subseteq R$ 。对任意 $x \in R$ ，定义

N_{A, B, C} (x) = {(a, b, c) ∣ a \in A, b \in B, c \in C, a + b + c = x} .

证明以下结论：

（1）存在 $x \in R$ ，使得

0 < N_{A, B, C} (x) \leq \frac{∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣ \cdot ∣ C ∣}{∣ A + B + C ∣};

（2）

x \in A + B + C \sum (N_{A, B, C} (x))^{2} \geq \frac{∣ A ∣ ^{2} \cdot ∣ B ∣ ^{2} \cdot ∣ C ∣ ^{2}}{∣ A + B + C ∣} .

其中 $∣ A ∣$ 表示集合 $A$ 中的元素个数，

A + B + C = {a + b + c ∣ a \in A, b \in B, c \in C} .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F1（会透露解法方向）

把三元组按和值分组求出表示数总和，再分别用最小组平均值与柯西平方和界，核有限非空的原商定义域。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：算两次与贡献法、柯西不等式与投影

专题卡：关联双计数与度数估计、抽屉、平均与总量夹逼