易混 2025 年福建预赛 · P006318
两题都在第一次满足条件时停止，但一题失败一整轮后回到完全相同的局面，另一题仍保留当前分数的信息。前者可以叠加重复循环，后者必须只递推尚未停止的内部状态。
不能因为都有停局规则，就把所有未结束的路径合成一个状态。
培玉 · 一试
2026 年云南预赛
轮流掷骰子的先手获胜概率
F2填空题概率
两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗。第一个使两颗骰子点数和不小于 者为胜； 否则由另一人投掷。则先投掷人的获胜概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
一次投掷只有“立即获胜”与“未获胜”两种结果。
思路
先手在第 轮获胜，恰好要先经历 个双方均失败的完整回合，再由先手成功，因此形成无穷等比级数。
解答
两颗骰子的点数和小于 时，和为 ，相应有
种等可能结果。因此一次投掷获胜与失败的概率分别为
先手的获胜概率为
代入得
复核
每轮重新投掷，结果相互独立；一整个回合继续的概率为 ， 所以无限无人获胜的概率为零。分母 已包含所有可能的完整失败回合。
方法总结
轮流进行、任一方首次成功即结束的模型，可把双方各失败一次看成一个“循环”。 先手胜率通常写成 ，但要先确认每次试验独立且无限循环概率为零。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先算单轮成功率13/18，先手第k次机会前须有2k次失败，形成直接可求和的等比级数。
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