2013 年安徽预赛 · 第 1 题

解答

定义域为 $[-2,2]$，且 $f$ 是偶函数，故只需考察 $0\le x\le 2$。 当 $0\le x\le 1$ 时，$f(x)=2+\sqrt{4-x^2}$，其值域为 $[2+\sqrt{3},4]$。 当 $1\le x\le 2$ 时，$f(x)=2x+\sqrt{4-x^2}$。柯西不等式给出

等号在 $x=4/\sqrt{5}\in [1,2]$ 时成立。另一方面，$y=\sqrt{4-x^2}$ 在 $[1,2]$ 上位于 连接 $(1,\sqrt{3})$ 与 $(2,0)$ 的弦的上方，故

这里的弦不等式也可直接验证：两边非负，且

下界在 $x=1$ 取得。函数连续，故从取最小值的点到取最大值的点之间取遍全部中间值。 所求值域为 $\boxed{[2+\sqrt{3},2\sqrt{5}]}$。