培玉 · 一试
2026 年浙江预赛
误差为零或一的整数值近可加函数
设函数 ，满足：对任意正整数 都有
且
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
重复 次相加只有 次加法，所以 。用共同倍数比较两种分组是一种不需要极限的近可加估计。
想法从哪来：误差只允许零或一，说明每次相加都几乎保持可加性。先把一个数重复相加，经过若干次加法后，总误差最多是加法次数，而非任意增长。这样任意一个已知函数值都能控制其倍数处的函数值区间。 目标自变量和已知自变量不同，直接递推中间值太多；试把它们都放大到同一个乘积。一边看成许多个目标长度的块，另一边看成许多个已知长度的块，两种区间必须有交集，便夹住目标函数值。再利用函数值本身是整数，足够窄的夹逼就能锁定唯一值。额外的小自变量条件可用来核对相容性，而不必强行塞进已经完成的夹逼。
条件说明 在重复相加时与线性函数最多相差“加法次数减一”。分别把同一个整数 看成 个 与 个 的和，即可夹住 。
解答
由题设反复使用归纳法可得：对任意正整数 ，
记 ，并令 。在 (1) 中先取 ，再取 ，得到
由 (2) 的左端与 (3) 的右端，
故 。由 (3) 的左端与 (2) 的右端，
若 ，右端至多为 ，矛盾。因此 。综上
复核
不等式 (1) 的上下误差分别为 与 ，与连续做 次加法完全对应。 两个数值端点之间只容纳整数 ；题目的 条件与结论相容，但在 已固定后不再需要额外使用。
方法总结
误差被统一控制的近可加函数，可把两个不同长度放大到同一个公倍数，再比较两种分组方式。 当放大倍数足够大时，单位级误差无法容纳两个候选整数，从而确定函数值。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需把每次加法至多1的误差累积为倍数上下界，再以2026和9999的公共倍数比较两个尺度，窄区间才可锁定整数值。
已记下，谢谢！