2022 年新疆预赛

思路

固定角的直角三角形两直角边比为1比√3；三角线性式A sinθ+B cosθ的绝对值不超过√(A²+B²)，来自柯西。

想法从哪来：内三角形形状固定，面积只随一个长度尺度的平方变化，因此先把外三角形边长归一化，选一条短直角边长和方向角作为未知量。直角与三十度条件立刻确定另一条边的长度及其垂直方向，三个顶点落在三条边的直线条件便能消去位置坐标，只留下尺度乘一个正弦余弦线性式等于常数。线性式的振幅上界给尺度下界，进而给面积下界。这里有两种转向，须利用外三角形镜像或分别核算覆盖；最后还要把等号方向对应的三个点写出，确认它们确在线段上，而不是只在支撑直线上。

面积比与外三角形边长无关，归一化外三角形后，用内三角形一条直角边的长度和方向参数化；三条边界条件给出该长度的显式式子。