2025 年中科大少年班营二 · 第 3 题

解答

取概率空间

其中 $\mathcal{B}(\Omega )$ 为圆盘上的 Borel 集族，${\lambda }_2$ 为平面面积。随机点为恒等映射 $M(u,v)=(u,v)$。

令 $r=|OM|$。圆心到弦的垂线平分弦，由直角三角形得弦长 $L=2\sqrt{1-r^2}$。单位圆内接正三角形边长为 $\sqrt{3}$，所以

有利区域面积为 $\pi (1/2{)}^2$，故