同一骨架 2025 年云南预赛 · P006406
两题都在求若干函数下包络的最高点。先用一增一减的两项确定可能的平衡位置，再在交点两侧各挑一项压住整个最小值，并检查剩余项在交点不将高度压低。
一个先把不同底数的对数统一成同一变量；另一个已有两条直线，但还须核二次项在候选点的影响。
培玉 · 一试
2021 年江西预赛
F2填空题重要初等函数
设对每个实数 ， 的值皆取 中的最小值， 则 的最大值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
寻找三条函数图像的共同高度。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
在线性函数的交点 ， 三个候选值恰好相等；再用交点两侧不同的线性项给出统一上界。
解答
当 时，
所以 。
若 ，则
故 。若 ，则
故仍有 。因此 是全局最大值，且在 时取得。 所以
复核
证明同时给出了可达点和对所有其他 的严格上界； 无需假定最小值具体由哪一项取得，因而没有遗漏分段切换。
方法总结
求若干函数下包络的最大值，可先找多个候选函数的共同交点， 再在交点两侧各选一项直接压住整个最小值。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
两直线在负3相交形成全局上界9，而二次式同点也为9，因此不必全域穷举每段最小函数。
联系 · 2 条
易混 2024 年福建预赛 · P006442
两题都可寻找被比较项的平衡位置，但min与max使证明方向相反：上包络求低点要给每个可行输入统一下界；下包络求高点则要给统一上界。第三项在取等点是否破坏平衡，也须按相应方向检查。
最大者的最小值与最小者的最大值不能直接互换；同样找两项相等，所得界的用途完全不同。
已记下，谢谢！