培玉 · 一试
2008 年湖南预赛 · 第 9 题
F3填空题平面几何综合
在平面直角坐标系中，定义点 、 之间的“直角距离”为
若 到点 、 的“直角距离”相等，其中实数 满足 、，则所有满足条件点 的轨迹的长度之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
横向、纵向的距离差分别按两个定点的坐标分段。
思路
先限制纵向必在两定点之间，再得到一条由三段组成的折线。
解答
等距条件为
其中
因φ只在[−5,5]内取值，解必须在3<y<9，于是y=(12−φ(x))/2。轨迹依次为
按通常平面线段长度，三段分别长1、5、4，所以
复核
两连接点为(1,17/2)、(6,7/2)，均在给定闭正方形内，各分段在端点吻合。两水平段的y差分别恰抵消横向差−5和5；没有遗漏y≤3或y≥9的区域，因为那里纵差绝对值6无法被横差抵消。
方法总结
绝对值等距轨迹先分离为横纵两项，再按折点分段；定义的距离用于确定轨迹，轨迹线段本身按平面长度相加。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先按两个定点坐标分段写横纵距离差，再联立筛去不可能区域；直角距离决定轨迹，轨迹长度仍按普通平面长度计算。
已记下，谢谢！