培玉 · 一试

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重要初等函数

从这里开始

重要初等函数：每次变形都带着限制走

分清代数候选与合法答案，在分段、取整、根的位置和包络取等处核验原约束。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

本专题练习集中在二次函数、绝对值、对数、取整及min/max包络的交界处。重点是把每种定义所带的限制保留下来：根是否落在指定段、顶点能否取到、整数部是否真的为整数、平衡点是否满足全部被比较项。先化成少量可核验的参数和区间，再处理最值或根数。

1. 先修与破题直觉：每种定义都先写出它自带的限制，再动手计算。负数取整最容易出错： $⌊ - 1.5 ⌋ = - 2$ ，小数部 ${- 1.5} = - 1.5 - (- 2) = 0.5$ 。受限最值也一样， $(x - 2)^{2} + 1$ 在 $[3, 5]$ 上的最小值是端点值 $f (3) = 2$ ，不是顶点值 $1$ 。

2. 核心条件辨析：根落在区间内要同时控制判别式、对称轴位置和端点函数值，闭区间还要单查端点根；去绝对值得到的每个解都要回到所在分段； $min$ 型包络的最大值要在候选点核对全部各项；取整等式中的整数部必须真是整数。

3. 典型误区对比：先读下方根的区间分布、绝对值增根、包络漏第三项、负数取整与埃尔米特（Hermite）恒等式各组红绿卡，再做自测。每题先写出该定义带来的限制，再列方程。

4. 方法迁移带练：把误区卡中的 $∣ x - 2∣ = 2 x + 1$ 换成 $∣ x - 1∣ = 3 x - 1$ ：右端须 $3 x - 1 \geq 0$ ，即 $x \geq \frac{1}{3}$ 。 $x - 1 = 3 x - 1$ 得 $x = 0$ ，不满足右端非负，舍去； $1 - x = 3 x - 1$ 得 $x = \frac{1}{2}$ ，回代两边都等于 $\frac{1}{2}$ ，所以唯一根是 $\frac{1}{2}$ 。再用 $m = 2$ 的埃尔米特恒等式解 $⌊ x ⌋ + ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋ = 5$ ：它等价于 $⌊ 2 x ⌋ = 5$ ，即 $x \in [\frac{5}{2}, 3)$ 。

5. 分级真题实战：先练“根和根积、区间与整数筛选”和“二次方程根的区间分布（三要素判别法）”，再练“绝对值的零点、分段与落区间核验”；然后进入“包络平衡点与统一界”，最后挑战“整数部替换与等号整性”“取整夹逼与埃尔米特（Hermite）分组”和“保留约束，逐层化成一维最值”。

先修（培玉高中数学）：二次函数与一元二次方程、不等式函数的概念及其表示函数的基本性质对数函数

知识要点

二次函数先分清实根与根的位置

对 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq = 0$ ），判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 控制实根是否存在，韦达定理 $x_{1} + x_{2} = - b / a, x_{1} x_{2} = c / a$ 控制根和与根积，而根落在指定区间还须联立端点函数值与对称轴位置：

•
两实根均大于 $k$ ： $Δ \geq 0$ ， $- \frac{b}{2 a} > k$ ，且 $a f (k) > 0$ ；
•
两实根均在 $(p, q)$ 内： $Δ \geq 0$ ， $p < - \frac{b}{2 a} < q$ ， $a f (p) > 0$ ， $a f (q) > 0$ ；
•
$(p, q)$ 内恰有一单根（根不在端点）：直接由介值异号条件 $f (p) f (q) < 0$ 判定，若 $f (p) f (q) = 0$ 则单独代回检验另一根是否落入 $(p, q)$ 。

例： $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 有两正根 $1, 2$ ，满足 $Δ = 1 > 0, - b / (2 a) = 3/2 > 0, f (0) = 2 > 0$ ；而“方程无正根”可由 $Δ < 0$ （如 $x^{2} + x + 1 = 0$ ）或两根均非正（ $Δ \geq 0, x_{1} + x_{2} \leq 0, x_{1} x_{2} \geq 0$ ）实现，不能简单写成 $Δ < 0$ 。

上面“两实根”允许重合；若要求两个互异根，须将 $Δ \geq 0$ 改为 $Δ > 0$ 。根均在闭区间 $[p, q]$ （ $p < q$ ）时，完整判据为 $Δ \geq 0$ 、 $p \leq - b / (2 a) \leq q$ 、 $a f (p) \geq 0$ 、 $a f (q) \geq 0$ ，四项须同时保留。例如 $f_{t} (x) = (x - t)^{2} - 4$ 的根为 $t - 2, t + 2$ ：两根都在 $(- 3, 5)$ 内当且仅当 $- 1 < t < 3$ ；换成 $[- 3, 5]$ 后恰为 $- 1 \leq t \leq 3$ 。

受限二次最值必须比较顶点与端点

配方 $A (x - h)^{2} + k$ 给出顶点，但顶点只有落在允许区间内才可作为取等点。例如 $(x - 2)^{2} + 1$ 在 $[0, 1]$ 上的最小值为 $2$ ，在 $x = 1$ 取得；在 $[1, 3]$ 上最小值才是 $1$ 。若区间端点也含参数，应先按顶点进入或离开区间的阈值分类。

绝对值的等号条件常比展开更快

恒有 $∣ u ∣ + ∣ v ∣ \geq ∣ u + v ∣$ ，等号当且仅当 $uv \geq 0$ 。例如 $∣ x ∣ + ∣ x - 2∣ - ∣2 x - 2∣$ 恒非负，在 $x \leq 0$ 或 $x \geq 2$ 时为零，在 $0 < x < 2$ 时为正。分母出现这种差时，可先定位零点；数绝对值方程的根时，则还须按内式符号逐段求解并核根落点。

统一对数变量也要保留值域

若底数互为幂，令 $t = lo g_{a} x$ 常能把对数式化为一次式。例如 $lo g_{1/4} x = - \frac{1}{2} lo g_{2} x$ ；以 $t = lo g_{2} x$ 换元时， $x > 0$ 恰对应 $t \in R$ 。求得一个最优 $t$ 后，要反求合法输入 $x = a^{t}$ ，否则只证明代数界而未完成原函数的可达性。

下包络最大与上包络最小要辨方向

对 $F (t) = min {t, 4 - t}$ ，任意一项都能给 $F$ 上界，最大值在两项相等处为 $2$ 。对 $G (t) = max {t, 4 - t}$ ，任意一项都给 $G$ 下界，最小值也为 $2$ 。有第三项时，要检查它在候选点是否把下包络压低或把上包络抬高，不能只算两项交点就结束。

取整函数与埃尔米特（Hermite）恒等式

任意实数可唯一分解为 $x = ⌊ x ⌋ + {x}$ ，其中整数部 $⌊ x ⌋ \in Z$ 、小数部 ${x} \in [0, 1)$ ，且恒有 $x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x$ 。例如 $⌊ - 0.3 ⌋ = - 1$ ， ${- 0.3} = 0.7$ ；若 $⌊ 2 x ⌋ = 1$ ，则 $1 \leq 2 x < 2 ⟺ x \in [1/2, 1)$ 。

对任意正整数 $m$ 与实数 $x$ ，成立埃尔米特（Hermite）恒等式：

k = 0 \sum m - 1 ⌊ x + \frac{k}{m} ⌋ = ⌊ m x ⌋ .

证明只需设 ${x} = \frac{q + r}{m}$ （其中 $q = ⌊ m {x}⌋ \in {0, 1, \dots, m - 1}$ ， $0 \leq r < 1$ ），则前 $m - q$ 项取整均为 $⌊ x ⌋$ ，后 $q$ 项取整均为 $⌊ x ⌋ + 1$ ，总和恰为 $m ⌊ x ⌋ + q = ⌊ m x ⌋$ 。例： $m = 3, x = 1.4$ 时，左边为 $⌊ 1.4 ⌋ + ⌊ 1.73 \dots ⌋ + ⌊ 2.06 \dots ⌋ = 1 + 1 + 2 = 4 = ⌊ 4.2 ⌋$ 。

柯西等号会把连续量锁成整数约束

二维柯西不等式为 $(u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2})^{2} \leq (u_{1}^{2} + u_{2}^{2}) (v_{1}^{2} + v_{2}^{2})$ ，等号要求两向量线性相关。例如 $(1, 2)$ 与 $(3, 6)$ 的点积为 $15$ ，模长乘积也为 $15$ ；换成 $(3, 5)$ 时点积 $13$ ，而模长乘积为 $170 > 13$ 。若分量来自整数部与小数部，应先写全等号比例，再检查余部是否仍小于一。

存在零点可转成参数平面的直线

固定一个允许的零点输入后，若参数满足 $α m + β n = c$ ，则在 $α^{2} + β^{2} > 0$ 时有 $m^{2} + n^{2} \geq c^{2} / (α^{2} + β^{2})$ 。例： $3 m + 4 n = 5$ 时下界为 $1$ ，在 $(m, n) = (3/5, 4/5)$ 取到。随后还须对输入的允许范围优化，并检查原题禁止为零的参数未被等号点违反。

方法卡

二次方程的根有正负、范围或整数要求：用判别式、根和根积、端点值筛选参数

判别式只回答“有没有实根”，根的位置要靠根和、根积和函数值来定。系数或根是整数时，先用不等式把可能的值缩到很少几个，再逐个代回。

完整讲解 · 例题 · 可练 21 题

一、是什么

判别式、根和、根积各管什么

对 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ），判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 决定有没有实根： $Δ \geq 0$ 才有。设两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，把 $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ 展开比较系数，得 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，这叫韦达定理。根积为正说明两根同号，根和再说明它们同为正还是同为负。例如 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ ： $Δ = 5 > 0$ ，根和 $- 3$ ，根积 $1$ ，所以两根都是负数。

“无实根”和“没有正根”不是一回事

没有正根有 2 种可能：根本没有实根；有实根但都不是正数。例如 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 的根是 $- 1, - 2$ ， $Δ = 1 > 0$ 有实根，但没有正根。所以这类题要分开写： $Δ < 0$ ，或者 $Δ \geq 0$ 且根和 $\leq 0$ 、根积 $\geq 0$ 。最后取两种情况的并集。

整数点是否满足，直接代进去看

若 $a > 0$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集是两根之间的闭区间。整数 $k$ 在解集里，等价于 $f (k) \leq 0$ 。这样不用写求根公式。例如 $x^{2} - t x + 6 \leq 0$ 中，正整数 $k$ 满足它等价于 $t \geq k + \frac{6}{k}$ 。逐个算出 $k + \frac{6}{k}$ ，就得到每个整数进入解集的阈值，也就是参数刚好让它满足的分界值。

先看一道例题

例 1：没有正根

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 t x + t + 2 = 0$ 没有正根，求 $t$ 的范围。

怎么看出来：

“没有正根”包括无实根和根都不是正数，所以要分 2 种情况，不能只写 $Δ < 0$ 。

解：

$Δ = 4 (t^{2} - t - 2) = 4 (t - 2) (t + 1)$ 。情况 1： $Δ < 0$ ，得 $- 1 < t < 2$ 。情况 2： $Δ \geq 0$ ，即 $t \leq - 1$ 或 $t \geq 2$ ，且两根都不是正数，要求根和 $2 t \leq 0$ 、根积 $t + 2 \geq 0$ ，即 $- 2 \leq t \leq 0$ 。与前者取交集得 $- 2 \leq t \leq - 1$ 。合并两种情况得 $- 2 \leq t < 2$ 。检查边界： $t = - 2$ 时方程为 $x^{2} + 4 x = 0$ ，根是 $0, - 4$ ，没有正根； $t = 2$ 时根是 $2$ ，是正根，不能取。

答案：

$- 2 \leq t < 2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
要求方程“没有正根”	分 $Δ < 0$ ，和 $Δ \geq 0$ 且根和 $\leq 0$ 、根积 $\geq 0$ 两种情况，零根是允许的
要求方程“两根都是负数”	实根必须存在： $Δ \geq 0$ ，根和 $< 0$ ，根积 $> 0$
不等式解集里恰有几个整数	把整数 $k$ 代入 $f (k) \leq 0$ ，算每个整数的阈值
方程的根是整数，条件里有系数的关系	用根表示系数，凑成 $(r - p) (s - q) =$ 常数（见进阶“两根都是整数”）
系数是整数，两根都在某个小区间内，求系数的最小值	用端点函数值是整数得到下界，再逐个排除，最后写出一个例子（见进阶“整系数的筛选和构造”）
$x$ 在闭区间内时 $∣ f (x) ∣ \leq M$ 恒成立	先代端点限制参数，再按顶点是否在区间内检查（见进阶“恒成立”）

三、怎么用

写出判别式、根和、根积。例如 $x^{2} + 2 x + t = 0$ 没有正根： $Δ = 4 - 4 t$ ，根和 $- 2$ ，根积 $t$ 。
把要求翻译成情况。没有正根就是：无实根，或者有实根但都不是正数。
每种情况列不等式并解出来。无实根： $4 - 4 t < 0$ ，得 $t > 1$ 。有实根但都不是正数： $t \leq 1$ ，根和 $- 2 \leq 0$ 成立，根积 $t \geq 0$ ，得 $0 \leq t \leq 1$ 。
合并各种情况。 $t > 1$ 和 $0 \leq t \leq 1$ 合起来是 $t \geq 0$ 。
代边界核对。 $t = 0$ 时根是 $0, - 2$ ，没有正根，可取； $t = - 1$ 时根是 $- 1 \pm 2$ ，其中 $- 1 + 2 > 0$ ，不可取。

四、再做一道

例 2：解集里的整数个数

不等式 $x^{2} - t x + 6 \leq 0$ 的解集中恰有 $2$ 个正整数，求 $t$ 的范围。

怎么看出来：

不必求根。代入整数 $k$ 就能算出参数要多大，这个整数才进入解集。

解：

对正整数 $k$ ， $k^{2} - t k + 6 \leq 0$ 等价于 $t \geq k + \frac{6}{k}$ 。计算 $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 时， $k + \frac{6}{k}$ 依次为 $7, 5, 5, \frac{11}{2}, \frac{31}{5}, 7$ ， $k \geq 7$ 时更大。所以 $t < 5$ 时没有正整数； $t = 5$ 时同时进入 $2, 3$ ；到 $t = \frac{11}{2}$ 时 $4$ 也进入。检查： $t = 5$ 时解集是 $[2, 3]$ ，恰有 $2$ 个； $t = \frac{11}{2}$ 时解集是 $[\frac{3}{2}, 4]$ ，有 $3$ 个。

答案：

$5 \leq t < \frac{11}{2}$ 。

五、容易错在哪

不能只由判别式判断根的位置。判别式大于零只说明有 2 个实根，没有说明它们在哪里。
根和、根积的范围通常只是必须满足的条件，不一定够用。缩小范围后要把具体的值代回，确认根真的落在要求的位置。
开区间的端点取不到。例如 $(x - 2)^{2} > 0$ 在 $(0, 2)$ 上恒成立，因为 $x = 2$ 不在区间内；换成 $[0, 2]$ 就不成立。
题目要两个不同的根时，重根要排除；只求出下界而不写出例子，还不能说明最小值就是它。

进阶：两根都是整数

两根都是整数：把条件凑成两个整数的乘积

若 $x^{2} + a x + b = 0$ 的两根 $r, s$ 是整数，就用 $a = - (r + s), b = rs$ 换掉系数。条件往往能凑成乘积：例如 $rs - r - s = 5$ 两边加 $1$ ，得 $(r - 1) (s - 1) = 6$ 。整数乘积等于定值，只有有限种因子组合，要把正负因子对都列全。

例 3：两根都是整数

方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的两根都是整数，且 $a + b = 5$ 。求 $b$ 所有可能的值。

怎么看出来：

根是整数，又有系数的关系，所以用根表示系数，再凑成整数乘积。

解：

设两根为 $r, s$ ，则 $a = - (r + s), b = rs$ ，条件变为 $rs - r - s = 5$ ，即 $(r - 1) (s - 1) = 6$ 。不计顺序， $(r - 1, s - 1)$ 可取 $(1, 6), (2, 3), (- 1, - 6), (- 2, - 3)$ ，对应 $(r, s) = (2, 7), (3, 4), (0, - 5), (- 1, - 2)$ ，所以 $b = 14, 12, 0, 2$ 。检查：对应的 $a = - 9, - 7, 5, 3$ ，每组 $a + b$ 都等于 $5$ 。

答案：

$b$ 可取 $14, 12, 2, 0$ 。

进阶：整系数的筛选和构造 · 先修：整除与余数

系数是整数：函数值也是整数

整系数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 在整点取整数值， $f (0) = c$ 就是整数；在 $x = \frac{1}{2}$ 处， $4 f (\frac{1}{2}) = a + 2 b + 4 c$ 也是整数。所以一个函数值如果又大于 $0$ ，就不可能太小： $f (0) > 0$ 推出 $f (0) \geq 1$ ， $f (\frac{1}{2}) > 0$ 推出 $f (\frac{1}{2}) \geq \frac{1}{4}$ 。若 $a > 0$ ，不同的两根 $r, s$ 都在 $(p, q)$ 内，则 $f (p) f (q) = a^{2} (r - p) (q - r) (s - p) (q - s)$ 。因为 $(r - p) (q - r) \leq (\frac{q - p}{2})^{2}$ ，等号只在 $r$ 是中点时成立，而 $r \neq = s$ ，所以 $f (p) f (q) < a^{2} (\frac{q - p}{2})^{4}$ 。左边有整数下界时，这就给出 $a$ 的下界。下界不一定取得到，要确认最小值，必须再写出一个真正满足全部条件的方程。

例 4：整系数的筛选和构造

$a, b, c$ 是整数， $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的最小值恰为 $\frac{1}{3}$ 。求 $a$ 的最小值。

怎么看出来：

最小值的公式把 $a, b, c$ 联系起来。两边都是分数，去分母后可以用整除筛掉很多 $a$ 。

解：

配方得最小值为 $\frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$ ，所以 $3 (4 a c - b^{2}) = 4 a$ 。左边是 $3$ 的倍数， $4$ 与 $3$ 互质，所以 $3 ∣ a$ 。先试 $a = 3$ ： $4 a c - b^{2} = 4$ ，即 $12 c - b^{2} = 4$ ， $b$ 必须是偶数。设 $b = 2 d$ ，得 $3 c - d^{2} = 1$ ，即 $d^{2} \equiv - 1 \equiv 2 (mod 3)$ 。但平方数除以 $3$ 的余数只能是 $0$ 或 $1$ ，矛盾，所以 $a \neq = 3$ 。再试 $a = 6$ ： $24 c - b^{2} = 8$ ，设 $b = 2 d$ ，得 $d^{2} = 6 c - 2$ ，取 $d = 2, c = 1$ ，即 $b = 4$ 。检查： $f (x) = 6 x^{2} + 4 x + 1$ ，最小值 $\frac{24 - 16}{24} = \frac{1}{3}$ 。

答案：

$a$ 的最小值为 $6$ 。

进阶：恒成立

恒成立看最值，最值不存在时看边界

$f (x) < a$ 恒成立，当 $f$ 的最大值存在时，就是最大值 $< a$ 。开口向上的二次函数在闭区间上，最大值一定在端点，最小值在顶点或端点；顶点是 $x = - \frac{b}{2 a}$ 处的点，只有它在区间内才能用。开区间上最值可能不存在。例如 $x^{2} + x < a$ 对 $0 < x < 1$ 恒成立：函数递增，值越来越接近 $2$ 但取不到，没有最大值。比较边界得 $a \geq 2$ ，再单独判断等号： $a = 2$ 时 $x^{2} + x < 2$ 确实成立，所以 $a = 2$ 可以取。

例 5：恒成立，把参数当主角

对每个 $a \in [- 1, 1]$ ，都有 $x^{2} + a x - 2 > 0$ 。求 $x$ 的范围。

怎么看出来：

这里变化的是 $a$ ，不是 $x$ 。固定 $x$ 后，左边是 $a$ 的一次函数，它在区间上的最小值在两端，只要两端都大于 $0$ 就够了。

解：

一次函数的值夹在两端的值之间，所以条件等价于 $a = 1$ 和 $a = - 1$ 时都成立。 $a = 1$ ： $x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1) > 0$ ，得 $x < - 2$ 或 $x > 1$ 。 $a = - 1$ ： $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) > 0$ ，得 $x < - 1$ 或 $x > 2$ 。取交集得 $x < - 2$ 或 $x > 2$ 。检查： $x = 2$ 时取 $a = - 1$ ，左边为 $0$ ，不大于 $0$ ，所以 $2$ 取不到； $x = 3$ 时左边 $7 + 3 a \geq 4 > 0$ 。

答案：

$x < - 2$ 或 $x > 2$ 。

进阶：值域恰为一段区间

值域恰好是一段区间，用单调性写端点方程

函数在 $[m, n]$ 上单调时，值域的两端就是两个端点的函数值。例如 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 在 $[m, n]$ （ $1 \leq m < n$ ）上递增，值域恰为 $[m, n]$ ，就有 $f (m) = m, f (n) = n$ 。所以 $m, n$ 都是 $f (x) = x$ 即 $(x - 1) (x - 2) = 0$ 的根， $m = 1, n = 2$ 。若题目没给单调范围，先用最大值、最小值判断区间在顶点的哪一侧。

进阶：反复代入同一个函数 · 先修：数列极限、连续性、单调有界定理

反复代入同一个二次函数

数列 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ 的极限 $L$ 若存在， $f$ 连续，就满足 $L = f (L)$ ，这样的 $L$ 叫不动点，是一个二次方程的根。先看单调和有界：单调且有界的数列一定有极限。例如 $f (t) = \frac{t ^{2} + 2}{3}$ ， $x_{0} = \frac{3}{2}$ 。 $f (t) - t = \frac{( t - 1 ) ( t - 2 )}{3}$ ，所以 $1 < t < 2$ 时 $f (t) < t$ ，数列递减。 $f$ 在 $t > 0$ 上递增，且 $f (1) = 1$ ，所以 $t > 1$ 时 $f (t) > 1$ ，数列保持大于 $1$ 。不动点只有 $1, 2$ ，而数列不超过 $\frac{3}{2}$ ，所以极限为 $1$ 。

真题

按这个方法练 · 21 题

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二次方程的根要落在指定区间：由开口、判别式、对称轴、端点值定参数

把根的位置翻译成函数图象的样子：根被一个数隔开，只看该点函数值的符号；两根都在区间内，判别式、对称轴、端点值都要看；恰有一根时，边界情况要代回解出来。

完整讲解 · 例题 · 可练 25 题

一、是什么

两根被 k 隔开：只需要一个条件

记 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq = 0$ ），判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ： $Δ > 0$ 有 2 个不同实根， $Δ = 0$ 有 1 个重根（两根相等）， $Δ < 0$ 没有实根。有实根时写成 $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ，则 $a \cdot f (k) = a^{2} (k - x_{1}) (k - x_{2})$ 。 $a^{2} > 0$ ，所以 $a f (k) < 0$ 等价于 $k - x_{1}, k - x_{2}$ 异号，也就是 $k$ 严格在两根之间。这个条件还保证了有 2 个不同实根：开口向上时 $f (k) < 0$ ，抛物线已经到了 $x$ 轴下方，两边一定穿过 $x$ 轴；开口向下时 $f (k) > 0$ ，抛物线已经到了 $x$ 轴上方，两边同样穿过 $x$ 轴。所以不用再写判别式和对称轴，多写反而可能丢解。

两根都在 (p,q) 内：3 个条件缺一不可

条件是：判别式 $Δ \geq 0$ ；对称轴 $p < - \frac{b}{2 a} < q$ ，对称轴是抛物线的左右对称线，两根关于它对称；端点 $a f (p) > 0, a f (q) > 0$ 。缺一个都可能出错。端点条件只说明端点不在两根之间，比如 $x (x - 1)$ 在 $(2, 3)$ 上 $f (2), f (3) > 0$ ， $Δ > 0$ ，但两根都在区间左边，是对称轴条件把它排除。又如 $x^{2} - 2 x + 2$ 在 $(0, 2)$ 上端点和对称轴都对，但没有实根，是判别式把它排除。若要 2 个不同的根，把 $Δ \geq 0$ 改成 $Δ > 0$ 。

闭区间：不等号放宽，端点根也算

若两根都在 $[p, q]$ 内，条件改为 $Δ \geq 0$ ， $p \leq - \frac{b}{2 a} \leq q$ ， $a f (p) \geq 0$ ， $a f (q) \geq 0$ ，4 项都保留。这时端点可能本身就是根，边界值要代回核对。

先看一道例题

例 1：两根被隔开

方程 $x^{2} + t x + 2 t - 5 = 0$ 一根小于 $1$ ，另一根大于 $1$ ，求 $t$ 的范围。

怎么看出来：

$1$ 把两根隔开，只需要看 $f (1)$ 的符号。

解：

开口向上，条件等价于 $f (1) < 0$ 。 $f (1) = 1 + t + 2 t - 5 = 3 t - 4 < 0$ ，得 $t < \frac{4}{3}$ 。检查： $t = 0$ 时根为 $\pm 5$ ，确实隔开 $1$ ； $t = \frac{4}{3}$ 时 $1$ 是根，不算隔开。

答案：

$t < \frac{4}{3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
一根大于 $k$ ，另一根小于 $k$	只写 $a f (k) < 0$
两根都大于 $k$ ，或都在 $(p, q)$ 内	联立判别式、对称轴、端点值
区间内恰有一个根	先看 $f (p) f (q) < 0$ ，再把端点为根和重根单独代回（见进阶“恰有一根”）
常数项与首项异号，或方程能因式分解	两根异号或根已明确，只看端点或直接比较（见进阶“能分解或二次项系数含参数”）
二次项系数含参数	先单独讨论系数为 $0$ ，再乘 $a$ 统一开口方向（见进阶“能分解或二次项系数含参数”）
根式方程问解的个数	换元成二次方程，问有几个非负根（见进阶“根式方程换元”）

三、怎么用

判断两根和区间的关系。例如 $f (x) = x^{2} - 2 x + t$ 的两根都在 $(0, 3)$ 内，要用 3 个条件；如果只要 $0$ 隔开两根，写 $f (0) = t < 0$ 就够。
写判别式： $Δ = 4 - 4 t \geq 0$ ，得 $t \leq 1$ 。
写对称轴： $x = 1$ ，在 $(0, 3)$ 内，这一条自动成立。
写端点值：开口向上， $f (0) = t > 0$ ， $f (3) = 3 + t > 0$ 。
取交集并代值核对： $0 < t \leq 1$ 。 $t = 1$ 时重根 $1$ ，在区间内； $t = 0$ 时根是 $0, 2$ ， $0$ 不在开区间内，不可取。

四、再做一道

例 2：两根都在区间内：开闭有差别

方程 $x^{2} - 2 t x + t = 0$ 的两根（可以相等）都在 $(0, 2)$ 内，求 $t$ 的范围；如果换成 $[0, 2]$ 呢？

怎么看出来：

两根同在区间内，要把判别式、对称轴、端点值都写出来。

解：

$Δ = 4 t (t - 1) \geq 0$ ，得 $t \leq 0$ 或 $t \geq 1$ 。对称轴 $x = t$ 要满足 $0 < t < 2$ 。端点： $f (0) = t > 0$ ； $f (2) = 4 - 3 t > 0$ ，即 $t < \frac{4}{3}$ 。取交集得 $1 \leq t < \frac{4}{3}$ 。闭区间时条件为 $Δ \geq 0$ ， $0 \leq t \leq 2$ ， $t \geq 0$ ， $t \leq \frac{4}{3}$ ，所以 $t = 0$ 或 $1 \leq t \leq \frac{4}{3}$ 。检查： $t = 0$ 时两根都是 $0$ ，在 $[0, 2]$ 内； $t = \frac{4}{3}$ 时两根为 $\frac{2}{3}, 2$ ，也在 $[0, 2]$ 内，但 $2$ 不在开区间内。

答案：

开区间： $1 \leq t < \frac{4}{3}$ 。闭区间： $t = 0$ 或 $1 \leq t \leq \frac{4}{3}$ 。

五、容易错在哪

两根被隔开时，不要多写对称轴条件。对称轴可以在 $k$ 的任一侧，多写就会丢解。
两根同在区间内时，漏写判别式或对称轴，都可能把不合要求的参数算进去。
闭区间上端点是根时，要解出另一根看它在不在区间内，不能只凭端点值为零就下结论。
“恰有一个不同的根”包括重根；题目说“恰有一个单根”时重根不算。先看清题目问的是哪一种。

进阶：恰有一根

区间内恰有一根：先看异号，再查边界

$f (p) f (q) < 0$ 时，函数在两端异号，区间内恰有一个根。除此之外还有 3 种边界情况要单独代回： $f (p) = 0$ ； $f (q) = 0$ ；重根 $Δ = 0$ 。把参数值代入，解出两根，看哪些落在区间内。例如 $(x - 1) (x - 3)$ 在 $(1, 4)$ 上， $f (1) = 0$ ，两端不异号，但 $x = 3$ 仍是区间内唯一的根。

例 3：恰有一根，查边界

方程 $x^{2} - t x + 1 = 0$ 在 $(0, 2)$ 内恰有一个不同的实根，求 $t$ 的范围。

怎么看出来：

恰一根要先看端点异号。异号之外的边界（端点为根、重根）容易漏，要单独代回。

解：

$f (0) = 1 > 0$ ， $f (2) = 5 - 2 t$ 。异号： $5 - 2 t < 0$ ，即 $t > \frac{5}{2}$ 。边界 $f (2) = 0$ ： $t = \frac{5}{2}$ ，两根为 $\frac{1}{2}, 2$ ，开区间内只有 $\frac{1}{2}$ ，符合。重根： $t = 2$ 时根为 $1$ ，符合； $t = - 2$ 时根为 $- 1$ ，不符合。其余情况： $2 < t < \frac{5}{2}$ 时 $f (2) > 0$ ，对称轴 $\frac{t}{2} \in (0, 2)$ ， $Δ > 0$ ，区间内有 2 个根，不符合； $t < 2$ 且 $t \neq = - 2$ 时，要么无实根，要么两根都为负，不符合。

答案：

$t = 2$ 或 $t \geq \frac{5}{2}$ 。

进阶：能分解或二次项系数含参数

能分解或根积定号时，直接用

若方程能分解，比如 $(x - 2) (x - t) = 0$ ，两根就是 $2, t$ ，直接比较大小，不必套 3 个条件。若根积为负，两根一正一负， $0$ 夹在中间，只需分别限制左根和右根。若二次项系数含参数，先单独看它等于 $0$ 的情况：若一次项系数不为 $0$ ，方程是一次方程，只有 1 个根；若一次项系数也为 $0$ ，再看常数项，常数项不为 $0$ 时无解，为 $0$ 时任意实数都是解。

例 4：二次项系数含参数

关于 $x$ 的方程 $(t - 1) x^{2} - 2 t x + t + 3 = 0$ 恰有一个正根（重根算一个），求 $t$ 的范围。

怎么看出来：

$t = 1$ 时不再是二次方程，要单独看。 $t \neq = 1$ 时用 $0$ 这个点分情况： $a f (0) < 0$ 说明 $0$ 隔开两根，恰有一个正根；再把 $f (0) = 0$ 和重根代回。

解：

$t = 1$ ：方程为 $- 2 x + 4 = 0$ ， $x = 2$ ，符合。 $t \neq = 1$ 时 $a = t - 1$ ， $f (0) = t + 3$ 。 $(t - 1) (t + 3) < 0$ ，即 $- 3 < t < 1$ ：两根异号，恰有一个正根，符合。 $t = - 3$ ： $- 4 x^{2} + 6 x = 0$ ，根 $0, \frac{3}{2}$ ，恰有一个正根，符合。重根： $Δ = 4 t^{2} - 4 (t - 1) (t + 3) = 12 - 8 t = 0$ ， $t = \frac{3}{2}$ ，方程化为 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ ， $x = 3$ ，符合。其余情况： $t < - 3$ 或 $1 < t < \frac{3}{2}$ 时， $Δ > 0$ ，根积 $\frac{t + 3}{t - 1} > 0$ ，根和 $\frac{2 t}{t - 1} > 0$ ，有 2 个正根，不符合； $t > \frac{3}{2}$ 时无实根，不符合。

答案：

$- 3 \leq t \leq 1$ 或 $t = \frac{3}{2}$ 。

进阶：区间上单调

区间上单调：看两端就够

函数在区间上单调时，存在零点等价于两端值异号或为零。例如 $f (x) = x^{2} - 4 x + p$ 的对称轴是 $x = 2$ ，在 $[0, 1]$ 上递减， $f (0) = p, f (1) = p - 3$ 。有零点等价于 $p (p - 3) \leq 0$ ，即 $0 \leq p \leq 3$ 。

进阶：根式方程换元

把别的方程换成二次方程的根

根式方程可以换元。 $x + a = x$ 里令 $y = x$ ，要求 $y \geq 0$ ，平方得 $y^{2} - y - a = 0$ 。这时“原方程有几个解”变成“这个二次方程有几个非负根”，正好用根的分布处理。

例 5：根式方程换成二次方程

方程 $x + a = x$ 恰有一个实数解，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

左边非负，所以 $x \geq 0$ 。平方后是二次方程，问题变成有几个非负根。平方时 $x + a = x^{2} \geq 0$ 自动满足根号的要求。

解：

解的个数等于 $g (x) = x^{2} - x - a$ 的非负根个数。根和为 $1$ ，根积为 $- a$ 。 $a > 0$ ：根积为负，一正一负，恰有 $1$ 个非负根。 $a = 0$ ：根 $0, 1$ ，有 $2$ 个。 $- \frac{1}{4} < a < 0$ ： $Δ = 1 + 4 a > 0$ ，根和、根积都为正，有 $2$ 个正根。 $a = - \frac{1}{4}$ ：重根 $x = \frac{1}{2}$ ，有 $1$ 个。 $a < - \frac{1}{4}$ ：无实根。

答案：

$a > 0$ 或 $a = - \frac{1}{4}$ 。

真题

按这个方法练 · 25 题

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含绝对值的函数和方程：按零点分段去绝对值，每个根都回到所在段核对

绝对值里面的式子等于零的点把数轴切成几段，每段上绝对值都能直接去掉。解出来的根要回到它所在的段。数根时，个数常在重根、根碰到分段点、右边变号、根跑向无穷远这些地方变化。

完整讲解 · 例题 · 可练 15 题

一、是什么

零点分段：每段就是普通式子

$∣ u ∣$ 在 $u \geq 0$ 时等于 $u$ ，在 $u < 0$ 时等于 $- u$ 。令 $u = 0$ 求出零点，就能把数轴切开。例如 $∣ x + 2∣$ 的零点是 $- 2$ ： $x \geq - 2$ 时为 $x + 2$ ； $x < - 2$ 时为 $- x - 2$ 。在一段内解出的根必须属于这一段，否则这个根是假的。

几个绝对值：几个零点切几段

$∣ x ∣ + ∣ x - 2∣$ 有 $2$ 个零点 $0, 2$ ，把数轴切成 $3$ 段。 $x < 0$ 时等于 $- x + (2 - x) = 2 - 2 x$ ； $0 \leq x \leq 2$ 时等于 $x + (2 - x) = 2$ ； $x > 2$ 时等于 $x + (x - 2) = 2 x - 2$ 。每段只有一种写法。

先看一道例题

例 1：回到所在段核对

解方程 $∣ x + 2∣ = 2 x + 1$ 。

怎么看出来：

零点是 $- 2$ ，分两段。右边也可能为负，所以解完必须核对。

解：

$x \geq - 2$ 时： $x + 2 = 2 x + 1$ ，得 $x = 1$ ，在这一段内。 $x < - 2$ 时： $- x - 2 = 2 x + 1$ ，得 $x = - 1$ ，不在 $x < - 2$ 内，舍去。检查： $x = 1$ 时两边都是 $3$ ； $x = - 1$ 时左边 $1$ ，右边 $- 1$ ，确实不成立。

答案：

$x = 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
方程里有 $∣ x - c ∣$ ，求解或求根的个数	按零点 $c$ 分段，或设 $t = ∣ x - c ∣$
分母形如 $∣ u ∣ + ∣ v ∣ - ∣ u + v ∣$	用等号条件 $uv \geq 0$ 找分母的零点（见进阶“三角不等式的等号”）
$(x - c)^{2}$ 和 $∣ x - c ∣$ 同时出现	设 $t = ∣ x - c ∣ \geq 0$ ，化成 $t$ 的二次方程（见进阶“整体换元”）
二次式的绝对值等于含参数的一次式，要求恰有几个根	按二次式的零点分外侧和中间，固定一边的根数，再求另一边（见进阶“根的个数”）
绝对值套绝对值	从外层拆成两个方程，再按右边的正负数根（见进阶“整体换元”）
函数含绝对值，要求递增或递减	分段写出，每段看对称轴的位置（见进阶“分段后看单调”）

三、怎么用

找出绝对值内式的零点，标在数轴上。例如 $∣ x - 3∣ = 2 x$ 的零点是 $3$ 。
分段去掉绝对值。 $x \geq 3$ 时 $∣ x - 3∣ = x - 3$ ； $x < 3$ 时 $∣ x - 3∣ = 3 - x$ 。
每段解普通方程。 $x - 3 = 2 x$ 得 $x = - 3$ ； $3 - x = 2 x$ 得 $x = 1$ 。
逐个回到所在段核对。 $x = - 3$ 不满足 $x \geq 3$ ，舍去； $x = 1$ 满足 $x < 3$ ，保留。
代回原方程。 $x = 1$ 时左边 $∣1 - 3∣ = 2$ ，右边 $2$ ，相等。解是 $x = 1$ 。

四、再做一道

例 2：两个绝对值，分 3 段

解方程 $∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ = 5$ 。

怎么看出来：

有 $2$ 个零点 $1, - 2$ ，切成 $3$ 段。每段去掉绝对值后都是普通方程。

解：

$x < - 2$ 时： $(1 - x) + (- x - 2) = - 2 x - 1 = 5$ ，得 $x = - 3$ ，在这一段内。 $- 2 \leq x \leq 1$ 时： $(1 - x) + (x + 2) = 3$ ， $3 = 5$ 不成立，这一段没有根。 $x > 1$ 时： $(x - 1) + (x + 2) = 2 x + 1 = 5$ ，得 $x = 2$ ，在这一段内。检查： $x = - 3$ 时 $4 + 1 = 5$ ； $x = 2$ 时 $1 + 4 = 5$ 。

答案：

$x = - 3$ 或 $x = 2$ 。

五、容易错在哪

去绝对值后解出的根，必须检查是否在这一段内。不在段内的要舍去，这是最常见的错误。
不能没有依据就说顶点在某一段。顶点的位置常随参数变化，要先比较。
分母的零点不是函数的输入。求定义域时要把这些点去掉，而不是拿它们计算。
换元 $t = ∣ x - c ∣$ 后， $t$ 的负根不对应任何 $x$ ； $t = 0$ 只对应 $1$ 个 $x$ ，不是 $2$ 个。
求根数的范围时，只证明“必须这样”还不够，还要说明范围内的参数确实能得到那么多根。

进阶：三角不等式的等号

三角不等式的等号：不用分段就能找零点

$∣ u ∣ + ∣ v ∣ \geq ∣ u + v ∣$ ，等号当且仅当 $u, v$ 不异号，即 $uv \geq 0$ 。原因是平方后相差 $2 (∣ uv ∣ - uv)$ ，它只在 $uv \geq 0$ 时为 $0$ 。例如 $u = x, v = 1 - x$ 时 $u + v = 1$ ，所以 $∣ x ∣ + ∣ x - 1∣ \geq 1$ ，等号当且仅当 $0 \leq x \leq 1$ 。式子是分母时，这些点就要从定义域中去掉。

例 3：用等号条件找定义域

求函数 $y = \frac{1}{∣ x ∣ + ∣ x - 1∣ - 1}$ 的定义域。

怎么看出来：

$x$ 与 $1 - x$ 的和是常数 $1$ ，分母是三角不等式的结构，不必分 3 段。

解：

$∣ x ∣ + ∣1 - x ∣ \geq ∣ x + (1 - x) ∣ = 1$ ，所以分母非负。等号当且仅当 $x (1 - x) \geq 0$ ，即 $0 \leq x \leq 1$ 。这时分母为零，函数没有定义。其余的 $x$ 分母为正。检查： $x = 2$ 时分母为 $2 + 1 - 1 = 2$ ； $x = \frac{1}{2}$ 时分母为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ 。

答案：

$x < 0$ 或 $x > 1$ 。

进阶：分段后看单调

分段后看单调：每段看对称轴或斜率

$f (x) = x^{2} - 2∣ x - 1∣$ 在 $x \leq 1$ 时是 $x^{2} + 2 x - 2$ ，对称轴 $x = - 1$ ；在 $x \geq 1$ 时是 $x^{2} - 2 x + 2$ ，对称轴 $x = 1$ 。对称轴是抛物线左右对称的那条竖线，在它右侧开口向上的抛物线递增。两段在 $x = 1$ 处连在一起，所以 $f$ 在 $[- 1, + \infty)$ 上递增。若每段都是一次函数，就看斜率：斜率从负变正的那个分段点是最低点。

例 4：折线有没有最低点

函数 $f (x) = 2∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ + a x$ 有最小值，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

每段都是一次函数，整条图象是折线。有没有最低点，只看最左边和最右边两段的斜率。

解：

分段写斜率： $x < 1$ 时为 $- 3 + a$ ； $1 \leq x < 3$ 时为 $1 + a$ ； $x \geq 3$ 时为 $3 + a$ 。斜率从左到右逐段增大。若最左段斜率 $> 0$ ， $x$ 向左走函数值趋向负无穷，没有最小值；若最右段斜率 $< 0$ ， $x$ 向右走同样没有最小值。所以要 $- 3 + a \leq 0$ 且 $3 + a \geq 0$ ，即 $- 3 \leq a \leq 3$ 。检查端点： $a = 3$ 时最左段水平，最小值在 $x \leq 1$ 上取到； $a = - 3$ 时最右段水平，最小值在 $x \geq 3$ 上取到。

答案：

$- 3 \leq a \leq 3$ 。

进阶：整体换元

整体换元：t=|x-c|

若方程里有 $(x - c)^{2}$ 和 $∣ x - c ∣$ ，设 $t = ∣ x - c ∣ \geq 0$ ，因为 $(x - c)^{2} = t^{2}$ 。数根时记住： $t > 0$ 对应 $2$ 个 $x$ ， $t = 0$ 对应 $1$ 个 $x$ ， $t < 0$ 对应 $0$ 个 $x$ 。套两层也一样： $∣ x ∣ - 2 = m$ （ $m \geq 0$ ）等价于 $∣ x ∣ = 2 + m$ 或 $∣ x ∣ = 2 - m$ ，从外往里一层层拆。

例 5：换元数根

讨论方程 $x^{2} - 2∣ x ∣ = a$ 不同实根的个数。

怎么看出来：

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ ，设 $t = ∣ x ∣$ 后变成 $t$ 的二次方程。 $t$ 的每个根对应几个 $x$ ，要按正、零、负分开数。

解：

设 $t = ∣ x ∣ \geq 0$ ，方程为 $t^{2} - 2 t = a$ ，即 $(t - 1)^{2} = a + 1$ 。 $a < - 1$ ：无实根， $0$ 个 $x$ 。 $a = - 1$ ： $t = 1$ ，给 $x = \pm 1$ ， $2$ 个。 $- 1 < a < 0$ ： $t = 1 \pm a + 1$ 都是正数， $4$ 个。 $a = 0$ ： $t = 0, 2$ ，给 $x = 0, \pm 2$ ， $3$ 个。 $a > 0$ ： $1 - a + 1 < 0$ 舍去，只有 $1$ 个正的 $t$ ， $2$ 个。

答案：

$a < - 1$ 时 $0$ 个； $a = - 1$ 或 $a > 0$ 时 $2$ 个； $a = 0$ 时 $3$ 个； $- 1 < a < 0$ 时 $4$ 个。

进阶：根的个数

根的个数怎么变

含参数的绝对值方程，根的个数常在 4 种地方变：出现重根；根碰到分段点；方程右边变号；某段的最高次项系数变成 $0$ 或两条直线的斜率相同，根跑向无穷远。最后一种容易漏： $∣ t x^{2} + x ∣ = 1$ 中 $t = \pm \frac{1}{100}$ 时有 $4$ 个根， $t = 0$ 时只有 $2$ 个根，因为 $t$ 接近 $0$ 时有 $2$ 个根跑到很远的地方。把方程想成图象交点更直观：左边是折过的曲线，右边是随参数转动或平移的直线。先固定某一段的根数，再集中讨论剩下那段。

例 6：折线和转动直线的交点

讨论方程 $∣ x - 1∣ + ∣ x + 1∣ = m x + 3$ 不同实根的个数。

怎么看出来：

左边是折线： $x < - 1$ 时 $- 2 x$ ， $- 1 \leq x \leq 1$ 时 $2$ ， $x > 1$ 时 $2 x$ 。右边是过 $(0, 3)$ 的直线，在折线上方的位置起步。分 3 段解，每段都核对根是否在段内。

解：

中段： $2 = m x + 3$ ， $x = - \frac{1}{m}$ ，在 $[- 1, 1]$ 内当且仅当 $∣ m ∣ \geq 1$ 。右段： $2 x = m x + 3$ ， $m \neq = 2$ 时 $x = \frac{3}{2 - m}$ ；要 $x > 1$ ，需 $- 1 < m < 2$ 。 $m = 2$ 时无解。左段： $- 2 x = m x + 3$ ， $m \neq = - 2$ 时 $x = - \frac{3}{m + 2}$ ；要 $x < - 1$ ，需 $- 2 < m < 1$ 。 $m = - 2$ 时无解。合起来数： $∣ m ∣ < 1$ 时左、右各 1 个，中段没有，共 $2$ 个。 $1 \leq m < 2$ 时中段、右段各 1 个，共 $2$ 个。 $- 2 < m \leq - 1$ 时中段、左段各 1 个，共 $2$ 个。 $∣ m ∣ \geq 2$ 时只有中段 1 个。 $m$ 接近 $2$ 时右段的根很大， $m = 2$ 时直线与最右段平行，这个根跑向无穷远而消失。检查 $m = 1$ ：根 $x = - 1$ 和 $x = 3$ ，左边分别是 $2, 6$ ，右边分别是 $2, 6$ 。

答案：

$∣ m ∣ < 2$ 时 $2$ 个根； $∣ m ∣ \geq 2$ 时 $1$ 个根。

进阶：图象对称

图象对称时，奇数个根说明中心是根

若函数图象关于直线 $x = c$ 对称，不在 $x = c$ 上的根成对出现。所以根的总数是奇数时， $x = c$ 本身必须是根。例如 $∣ x^{2} - 4∣ = b$ 关于 $x = 0$ 对称，要有 $3$ 个根，必须 $x = 0$ 是根，所以 $b = 4$ ；此时根是 $0, \pm 22$ 。

真题

按这个方法练 · 15 题

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由 min、max 定义的函数求最值：找两项的平衡点，再检查其余各项

$min$ 表示取几个数中最小的， $max$ 表示取最大的。 $min$ 不超过其中任何一项， $max$ 不小于其中任何一项，所以每一项都能给出一个界。一项升、一项降时，界最紧的地方在两项相等处。求出后还要检查第 3 项，并确认这个点取得到。

完整讲解 · 例题 · 可练 15 题

一、是什么

先分清方向

$f = min {A, B}$ 表示取较小者，所以 $f \leq A$ ， $f \leq B$ ，能给出上界，通常求最大值。 $g = max {A, B}$ 表示取较大者，所以 $g \geq A$ ， $g \geq B$ ，能给出下界，通常求最小值。求 $min$ 的最小值或 $max$ 的最大值一般没有这种平衡结构，不要套用。

为什么在两项相等处

看 $min {x + 1, 5 - x}$ 。 $x \leq 2$ 时 $x + 1 \leq 3$ ，所以 $f \leq 3$ ； $x \geq 2$ 时 $5 - x \leq 3$ ，所以 $f \leq 3$ ； $x = 2$ 时两项都是 $3$ ，所以最大值是 $3$ 。这里一项递增，一项递减。离开交点向任一方向走，总有一项小于 $3$ 。这就是平衡点。

第 3 项可能改变结果

平衡点只照顾到两项。 $min {x + 1, 5 - x, 2}$ 在 $x = 2$ 处实际值是 $2$ ，不是 $3$ ，因为第 3 项把它压低了。最大值变成 $2$ ，在 $x = 1$ 处取到（ $2, 4, 2$ ）。所以要把平衡点代入全部各项。 $max$ 也一样，第 3 项可能把它抬高。

先看一道例题

例 1：两个绝对值取最大

求 $g (x) = max {∣ x - 1∣, ∣ x + 3∣}$ 的最小值。

怎么看出来：

求 $max$ 的最小值，每项都给下界。 $∣ x - 1∣$ 是到 $1$ 的距离， $∣ x + 3∣$ 是到 $- 3$ 的距离，一个变小另一个就变大。

解：

两个距离的和不小于 $1$ 和 $- 3$ 之间的距离： $∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣ \geq 4$ 。两个数的和至少是 $4$ ，较大的至少是 $2$ ，所以 $g (x) \geq 2$ 。 $x = - 1$ 时两项都等于 $2$ ，取到。

答案：

最小值为 $2$ ，在 $x = - 1$ 时取到。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$f (x)$ 取几个式子中的最小者，求最大值	一升一降的两项给上界，算交点
几个量的最大者，求最小值	每项都给下界，令相关的项相等
$a + b$ 为定值，求 $max$ 的最小值	假设它小于某数，从两项推出 $a + b$ 太小，得到矛盾（见进阶“和式约束”）
对数底数互为幂，取较小或较大者	令 $t = lo g_{a} x$ ，化成直线，最后还原 $x$ （见进阶“对数”）
二次式系数未知，求区间上绝对值的最大值的最小值	组合几个点的值消去系数，再写出取等的函数（见进阶“组合几项消去未知数”）

三、怎么用

判断方向。例如 $f (x) = min {x + 1, 5 - x}$ 求最大值，每一项都给上界： $f \leq x + 1$ ， $f \leq 5 - x$ 。
挑变化方向相反的两项，令它们相等。 $x + 1$ 递增， $5 - x$ 递减， $x + 1 = 5 - x$ 得 $x = 2$ 。
在平衡点两侧各用一项写出同一个界。 $x \leq 2$ 时 $f \leq x + 1 \leq 3$ ； $x \geq 2$ 时 $f \leq 5 - x \leq 3$ 。
把平衡点代入全部各项。 $x = 2$ 时两项都是 $3$ ， $f (2) = 3$ 。如果还有第 3 项比 $3$ 小，就要改用实际决定数值的两项重算。
确认取等的点在定义域内。 $x = 2$ 是实数，没有其他限制，所以最大值是 $3$ 。

四、再做一道

例 2：平衡点不在范围内

设 $f (x) = min {2 x - 1, 11 - x}$ ， $0 \leq x \leq 3$ 。求 $f (x)$ 的最大值。

怎么看出来：

$min$ 求最大，每一项都给上界。 $2 x - 1$ 递增， $11 - x$ 递减，先算交点，再看它在不在范围内。

解：

令 $2 x - 1 = 11 - x$ ，得 $x = 4$ ，不在 $[0, 3]$ 内，取不到。改用统一的界：在 $[0, 3]$ 上 $2 x - 1$ 递增，所以 $f (x) \leq 2 x - 1 \leq 2 \times 3 - 1 = 5$ 。 $x = 3$ 时两项分别是 $5$ 和 $8$ ，较小的是 $5$ ，所以 $f (3) = 5$ ，这个界取得到。检查： $x = 2$ 时两项是 $3$ 和 $9$ ， $f (2) = 3 < 5$ 。

答案：

最大值为 $5$ ，在 $x = 3$ 时取到。

五、容易错在哪

不要把方向用反。 $min$ 的每一项给上界， $max$ 的每一项给下界；反过来写的不等式是错的。
两项的交点不一定是答案，第 3 项可能在那里把 $min$ 压低或把 $max$ 抬高。一定要代入全部各项。
只证明不等式不够，还要找到取等的点，并检查这个点符合原来的定义域和约束。
不必把所有分段都画完，用两项给出统一的界通常更快；但用来给界的两项，要真的覆盖全部 $x$ 。

进阶：和式约束

有和式约束：消元或用反证

若 $a + b$ 为定值， $a$ 变大时 $b$ 变小，这就是一升一降。常用写法：假设 $max {\dots}$ 小于某个数，从两项分别得到 $a, b$ 的上界，相加与 $a + b$ 的值矛盾。这样可以不去分段。

例 3：有和式约束

$a, b \geq 0$ ， $a + b = 5$ ，求 $max {2 a, 3 b, ab}$ 的最小值。

怎么看出来：

$a$ 变大时 $2 a$ 变大、 $3 b$ 变小，这是一升一降。令 $2 a = 3 b$ 并结合 $a + b = 5$ ，得 $a = 3, b = 2$ ，此时值为 $6$ 。于是猜最小值是 $6$ ，用反证证明。

解：

假设 $max {2 a, 3 b, ab} < 6$ ，则 $2 a < 6$ ， $3 b < 6$ ，即 $a < 3, b < 2$ ，于是 $a + b < 5$ ，与 $a + b = 5$ 矛盾。所以最大者不小于 $6$ 。 $a = 3, b = 2$ 时 $3$ 项都等于 $6$ ，取到。

答案：

最小值为 $6$ 。

进阶：对数 · 先修：对数定义、对数函数单调性、换底公式

对数换元：记得还原

底数互为幂时统一变量。例如 $lo g_{4} x = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ ，令 $t = lo g_{2} x$ ，则 $x > 0$ 恰好对应全体实数 $t$ ，式子变成直线。解出最优的 $t$ 后，要写出对应的 $x = 2^{t}$ ，说明这个值真的取得到。

例 4：定义域内的对数平衡

设 $f (x) = min {lo g_{2} x, lo g_{2} (6 - x)}$ ， $0 < x < 6$ 。求 $f (x)$ 的最大值。

怎么看出来：

$lo g_{2} x$ 递增， $lo g_{2} (6 - x)$ 递减，平衡点在两者相等处。先要确认定义域，再验证取等的点在里面。

解：

$lo g_{2} x = lo g_{2} (6 - x)$ 给 $x = 3$ ，值为 $lo g_{2} 3$ 。 $0 < x \leq 3$ 时 $f \leq lo g_{2} x \leq lo g_{2} 3$ ； $3 \leq x < 6$ 时 $f \leq lo g_{2} (6 - x) \leq lo g_{2} 3$ 。 $x = 3$ 在定义域内，两项都等于 $lo g_{2} 3$ 。

答案：

最大值为 $lo g_{2} 3$ 。

进阶：组合几项消去未知数 · 先修：绝对值三角不等式

绝对值最大者的下界

$max ∣ q (x) ∣$ 也是 $max$ 结构。把几个点的值组合，消去未知系数。设 $q (x) = x^{2} + b x + c$ ， $M$ 是 $∣ q (x) ∣$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值， $- 1, 0, 1$ 都在这个区间内，所以 $∣ q (1) ∣, ∣ q (- 1) ∣, ∣ q (0) ∣ \leq M$ 。又 $q (1) + q (- 1) - 2 q (0) = 2$ ， $b, c$ 都消去了。左边不超过 $M + M + 2 M = 4 M$ ，所以 $M \geq \frac{1}{2}$ 。要点必须在区间内，否则这个估计不能用。

例 5：组合几项消去未知数

$a, b$ 是实数，求 $max {∣ a ∣, ∣ a - b ∣, ∣ b - 6∣}$ 的最小值。

怎么看出来：

3 项连起来： $a$ 从 $0$ 出发，走到 $b$ ，再走到 $6$ 。3 段路程之和不小于 $6$ ，所以它们不能都太小。

解：

由三角不等式， $∣ a ∣ + ∣ b - a ∣ + ∣6 - b ∣ \geq ∣ a + (b - a) + (6 - b) ∣ = 6$ 。3 个数的和至少是 $6$ ，最大的至少是 $2$ 。 $a = 2, b = 4$ 时 3 项都等于 $2$ ，取到。

答案：

最小值为 $2$ 。

进阶：第 3 项改变平衡点

例 6：第 3 项破坏平衡

设 $f (x) = min {x + 1, 7 - x, x^{2} - 6}$ ，求 $f (x)$ 的最大值。

怎么看出来：

前两项交于 $x = 3$ ，值为 $4$ 。但 $x = 3$ 时 $x^{2} - 6 = 3 < 4$ ，第 3 项把它压低了，要改用实际起作用的两项。

解：

$x > 0$ 时 $x^{2} - 6$ 递增， $7 - x$ 递减。令 $x^{2} - 6 = 7 - x$ ，即 $x^{2} + x - 13 = 0$ ，取正根 $x_{0} = \frac{53 - 1}{2} \approx 3.14$ ，此时值为 $7 - x_{0} = \frac{15 - 53}{2} \approx 3.86$ 。证明它是最大值： $x \geq x_{0}$ 时 $f \leq 7 - x \leq 7 - x_{0}$ ； $0 \leq x \leq x_{0}$ 时 $f \leq x^{2} - 6 \leq x_{0}^{2} - 6 = 7 - x_{0}$ ； $x < 0$ 时 $f \leq x + 1 < 1$ 。在 $x_{0}$ 处第 1 项 $x_{0} + 1 \approx 4.14$ ，不小于 $3.86$ ，所以取得到。

答案：

最大值为 $\frac{15 - 53}{2}$ 。

真题

按这个方法练 · 15 题

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含取整、小数部分的方程：把整数部当整数未知数，解完回到区间核对

把 $x$ 拆成整数部和小数部，一个是整数，一个在 $[0, 1)$ 内。这 2 条限制比方程本身还有用：解出的整数部必须真是整数，求出的 $x$ 必须落回它对应的区间。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

取整和小数部分，负数最容易错

$⌊ x ⌋$ （也写作 $[x]$ ）表示不超过 $x$ 的最大整数， ${x} = x - ⌊ x ⌋$ 表示小数部分， $0 \leq {x} < 1$ 。负数不是去掉小数点： $⌊ - 1.5 ⌋ = - 2$ ， ${- 1.5} = 0.5$ 。另外 $⌊ x ⌋ = k$ 等价于 $k \leq x < k + 1$ ，左端能取、右端取不到，这种区间叫半开区间。

整数变量：把取整整体设为 t

方程里取整整体出现时，设它为整数 $t$ ，先按 $t$ 解。解出的 $t$ 不是整数就舍去。再由 $t \leq 内式 < t + 1$ 恢复 $x$ 的区间。例如 $⌊ 2 x ⌋ = 3$ 等价于 $3 \leq 2 x < 4$ ，即 $\frac{3}{2} \leq x < 2$ 。答案常常是一段区间，不是一个数。

拆成 n 和 f：小数部分的范围会限制整数

设 $n = ⌊ x ⌋, f = {x}$ ，方程就有 2 个未知量，但 $n$ 是整数、 $0 \leq f < 1$ 。例如 $n + 3 f = 4$ 中， $3 f = 4 - n \in [0, 3)$ ，所以 $1 < n \leq 4$ ， $n$ 只能是 $2, 3, 4$ 。

先看一道例题

例 1：整数部、小数部同时出现

解方程 $⌊ x ⌋ + 3 {x} = 4$ 。

怎么看出来：

有整数部也有小数部，拆成 $n + f$ 。小数部的范围限制 $n$ 。

解：

设 $n = ⌊ x ⌋, f = {x}$ ，方程为 $n + 3 f = 4$ ，即 $f = \frac{4 - n}{3}$ 。由 $0 \leq f < 1$ 得 $1 < n \leq 4$ ，所以 $n = 2, 3, 4$ ，对应 $f = \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0$ ， $x = \frac{8}{3}, \frac{10}{3}, 4$ 。检查： $x = \frac{8}{3}$ 时 $2 + 2 = 4$ ； $x = \frac{10}{3}$ 时 $3 + 1 = 4$ ； $x = 4$ 时 $4 + 0 = 4$ 。

答案：

$x = \frac{8}{3}, \frac{10}{3}, 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$⌊$ 内式 $⌋$ 整体出现，方程是它的二次式	设它为整数 $t$ ，解后还原半开区间
$x^{2}$ 和 $⌊ x ⌋$ 同时出现	设 $k = ⌊ x ⌋$ ，用 $k \leq x < k + 1$ 夹出有限个 $k$ （见进阶“用区间夹整数”）
$⌊ x ⌋$ 和 ${x}$ 都出现	设 $x = n + f$ ，用 $0 \leq f < 1$ 限制 $n$
不同分母的取整，如 $⌊ \frac{x}{5} ⌋$ 与 $⌊ \frac{x}{6} ⌋$	设一个为 $k$ ，写双边不等式求交集（见进阶“不同分母的取整”）
根式里有 $⌊ x ⌋ ⌊ y ⌋$ 和 ${x} {y}$	看成柯西不等式的等号，得到比例条件（见进阶“柯西等号”）

三、怎么用

把整数部记为 $n$ ，小数部记为 $f$ ，写出范围。例如 $⌊ x ⌋ + 2 {x} = 1$ ： $n$ 是整数， $0 \leq f < 1$ ，方程为 $n + 2 f = 1$ 。
用整数未知数表示其余的量： $f = \frac{1 - n}{2}$ 。
用范围夹出整数： $0 \leq \frac{1 - n}{2} < 1$ ，得 $- 1 < n \leq 1$ ，所以 $n = 0, 1$ 。不是整数的值直接舍去。
逐个还原 $x$ ： $n = 0$ 时 $f = \frac{1}{2}$ ， $x = \frac{1}{2}$ ； $n = 1$ 时 $f = 0$ ， $x = 1$ 。
代回核对： $x = \frac{1}{2}$ 时 $0 + 1 = 1$ ； $x = 1$ 时 $1 + 0 = 1$ 。如果设的是整体 $⌊ \cdot ⌋$ ，答案会是半开区间，右端取不到。

四、再做一道

例 2：取整的不等式

解不等式 $⌊ x ⌋^{2} - 3 ⌊ x ⌋ - 4 < 0$ 。

怎么看出来：

取整整体出现，设它为整数 $t$ 。不等式解出的是范围，要在范围内取整数，再还原 $x$ 。

解：

设 $t = ⌊ x ⌋$ ， $(t - 4) (t + 1) < 0$ ，得 $- 1 < t < 4$ 。 $t$ 是整数，所以 $t = 0, 1, 2, 3$ ，合起来 $0 \leq x < 4$ 。检查： $x = - 0.5$ 时 $t = - 1$ ，左边为 $0$ ，不满足； $x = 3.9$ 时 $t = 3$ ，左边为 $- 4$ ，满足； $x = 4$ 时左边为 $0$ ，不满足。

答案：

$0 \leq x < 4$ 。

五、容易错在哪

不能把整数未知数当实数。解出 $t = \frac{1}{3}$ 这样的值要直接舍去。
负数的取整是向下取，不是截掉小数： $⌊ - 0.3 ⌋ = - 1$ ，不是 $0$ 。
最后要把每个 $x$ 代回去看取整值。由 $x^{2} = 6 - k^{2}$ 算出的 $x$ ，其整数部不一定是 $k$ 。

进阶：用区间夹整数

含平方：用区间夹出有限个整数

方程同时有 $x^{2}$ 和 $⌊ x ⌋$ 时，设 $k = ⌊ x ⌋$ ，把 $x^{2}$ 用 $k$ 表示，得到 $x = \pm \dots$ 。 $x^{2} \geq 0$ 或 $k \leq x < k + 1$ 能把 $k$ 限制到少数几个值。正根对应 $k \geq 0$ ，负根对应 $k < 0$ 。逐个代回， $x$ 的取整是否真等于 $k$ 才是最后的判断。例如 $x^{2} + ⌊ x ⌋^{2} = 6$ 中 $k^{2} \leq 6$ ， $k$ 只能是 $- 2, - 1, 0, 1, 2$ 。

例 3：平方型，要查负根

解方程 $x^{2} + ⌊ x ⌋^{2} = 6$ 。

怎么看出来：

设 $k = ⌊ x ⌋$ ， $x^{2} = 6 - k^{2} \geq 0$ 把 $k$ 夹到有限个。每个 $k$ 都有正负两个 $x$ 要查，负数的取整容易错。

解：

设 $k = ⌊ x ⌋$ ， $k^{2} \leq 6$ ，所以 $k = - 2, - 1, 0, 1, 2$ 。 $k = 2$ ： $x = \pm 2$ ，取整是 $1$ 或 $- 2$ ，都不是 $2$ 。 $k = 1$ ： $x = \pm 5 \approx \pm 2.24$ ，取整是 $2$ 或 $- 3$ ，都不是 $1$ 。 $k = 0$ ： $x = \pm 6 \approx \pm 2.45$ ，取整是 $2$ 或 $- 3$ ，都不是 $0$ 。 $k = - 1$ ： $x = \pm 5$ ，取整是 $2$ 或 $- 3$ ，都不是 $- 1$ 。 $k = - 2$ ： $x = \pm 2$ ，其中 $- 2 \approx - 1.41$ 的取整是 $- 2$ ，符合； $2$ 的取整是 $1$ ，舍去。检查： $x = - 2$ 时 $2 + 4 = 6$ 。

答案：

$x = - 2$ 。

例 4：x 与取整的乘积

解方程 $x ⌊ x ⌋ = 10$ 。

怎么看出来：

设 $k = ⌊ x ⌋$ ， $x = \frac{10}{k}$ 。再用 $k \leq x < k + 1$ 限制 $k$ 。负数时乘 $k$ 不等号要变向，分开写。

解：

设 $k = ⌊ x ⌋$ 。 $k = 0$ 时左边为 $0$ ，不等于 $10$ ，所以 $k \neq = 0$ ， $x = \frac{10}{k}$ 。 $k > 0$ 时， $k \leq x < k + 1$ 乘 $k$ 得 $k^{2} \leq 10 < k^{2} + k$ 。 $k = 3$ 时 $9 \leq 10 < 12$ 成立； $k \leq 2$ 时 $k^{2} + k \leq 6$ ，右边不成立； $k \geq 4$ 时 $k^{2} \geq 16$ ，左边不成立。所以 $x = \frac{10}{3}$ 。 $k < 0$ 时乘 $k$ 变向，得 $k^{2} \geq 10 > k^{2} + k$ 。 $k \leq - 4$ 时 $k^{2} + k \geq 12$ ，不成立； $k = - 1, - 2, - 3$ 时 $k^{2} \leq 9$ ，不成立。所以没有负解。检查： $\frac{10}{3} \times 3 = 10$ 。

答案：

$x = \frac{10}{3}$ 。

进阶：不同分母的取整

不同分母的取整相等

$⌊ \frac{x}{5} ⌋ = ⌊ \frac{x}{6} ⌋ + 1$ 这类方程，设 $k = ⌊ \frac{x}{6} ⌋$ ，写成 2 个双边不等式 $6 k \leq x < 6 k + 6$ 和 $5 k + 5 \leq x < 5 k + 10$ 。两个区间要有公共部分，就能确定 $k$ 的范围。

进阶：柯西等号 · 先修：柯西不等式

柯西不等式的等号给出比例

柯西不等式是 $(u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2})^{2} \leq (u_{1}^{2} + u_{2}^{2}) (v_{1}^{2} + v_{2}^{2})$ ，因为右边减左边等于 $(u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})^{2} \geq 0$ ；等号当且仅当 $u_{1} v_{2} = u_{2} v_{1}$ 。取 $u = (⌊ x ⌋, {x}), v = (⌊ y ⌋, {y})$ ，因为 $⌊ x ⌋ + {x} = x$ ，得 $⌊ x ⌋ ⌊ y ⌋ + {x} {y} \leq x y$ ，等号当且仅当 $⌊ x ⌋ {y} = ⌊ y ⌋ {x}$ 。根式方程若恰好是这个等号，就化成了比例条件，这里 $x, y \geq 0$ ，根号有意义。用的时候先说明原方程确实就是等号；还要回到小数部分小于 $1$ 的限制，分情况核对。

例 5：柯西等号

设 $x \geq 1$ ，解方程 $⌊ x ⌋ ⌊ 2 x ⌋ + {x} {2 x} = 2 x$ 。

怎么看出来：

左边正是上面柯西不等式的形状（取 $y = 2 x$ ），右边 $x \cdot 2 x = 2 x$ 正好是上界。所以方程就是等号成立。

解：

由柯西不等式，左边 $\leq x \cdot 2 x = 2 x$ ，方程等价于等号条件 $⌊ x ⌋ {2 x} = ⌊ 2 x ⌋ {x}$ 。设 $n = ⌊ x ⌋ \geq 1, f = {x}$ 。若 $0 \leq f < \frac{1}{2}$ ： $⌊ 2 x ⌋ = 2 n, {2 x} = 2 f$ ，等式 $n \cdot 2 f = 2 n \cdot f$ 恒成立。若 $\frac{1}{2} \leq f < 1$ ： $⌊ 2 x ⌋ = 2 n + 1, {2 x} = 2 f - 1$ ，等式变为 $n (2 f - 1) = (2 n + 1) f$ ，化简得 $f = - n < 0$ ，不可能。检查： $x = 1.25$ 时左边 $2 + 0.125 \approx 1.768$ ，右边 $1.25 2 \approx 1.768$ ； $x = 1.75$ 时左边约 $2.344$ ，右边约 $2.475$ ，不相等。

答案：

$n \leq x < n + \frac{1}{2}$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ 。

真题

按这个方法练 · 9 题

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取整的和式与夹逼：用恒等式合并成一个取整，或用不等式锁定整数

几个相差等距的取整加起来，可以合并成一个取整。其他情况就用 $x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x$ 把未知数夹在一小段，再把整数逐个试完。

完整讲解 · 例题 · 可练 1 题

一、是什么

基本不等式：取整和本身相差不到 1

$⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，叫向下取整，例如 $⌊ 2.7 ⌋ = 2$ ， $⌊ - 1.5 ⌋ = - 2$ 。 ${x} = x - ⌊ x ⌋$ 叫小数部分， $0 \leq {x} < 1$ 。由 $⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$ 得 $x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x$ ，左边是严格的小于。

为什么 ⌊2x⌋ 不等于 2⌊x⌋

$x = 1.6$ 时， $⌊ 2 x ⌋ = ⌊ 3.2 ⌋ = 3$ ， $2 ⌊ x ⌋ = 2$ 。原因是小数部分翻倍后可能进位。按小数部分分情况： ${x} < \frac{1}{2}$ 时 $⌊ 2 x ⌋ = 2 ⌊ x ⌋$ ； ${x} \geq \frac{1}{2}$ 时 $⌊ 2 x ⌋ = 2 ⌊ x ⌋ + 1$ 。

埃尔米特恒等式

$\sum_{k = 0}^{m - 1}$ 表示把 $k = 0, 1, \dots, m - 1$ 分别代入后面的式子，再全部相加。对正整数 $m$ 和实数 $x$ ，有 $\sum_{k = 0}^{m - 1} ⌊ x + \frac{k}{m} ⌋ = ⌊ m x ⌋$ 。 $m = 3$ 时就是 $⌊ x ⌋ + ⌊ x + \frac{1}{3} ⌋ + ⌊ x + \frac{2}{3} ⌋ = ⌊ 3 x ⌋$ 。例： $x = 2.7$ 时左边 $⌊ 2.7 ⌋ + ⌊ 3.03 \dots ⌋ + ⌊ 3.36 \dots ⌋ = 2 + 3 + 3 = 8$ ，右边 $⌊ 8.1 ⌋ = 8$ 。

为什么成立：数有几项进位

设 $n = ⌊ x ⌋$ ， $f = x - n$ ， $0 \leq f < 1$ 。每一项 $⌊ n + f + \frac{k}{m} ⌋$ 要么是 $n$ ，要么是 $n + 1$ ； $f + \frac{k}{m} \geq 1$ 时才进位成 $n + 1$ 。两边乘 $m$ ，进位条件是 $m f \geq m - k$ 。 $m - k$ 是整数，所以它等价于 $q \geq m - k$ ，这里 $q = ⌊ m f ⌋$ ，也就是 $k \geq m - q$ 。满足的 $k$ 恰为 $m - q, \dots, m - 1$ ，共 $q$ 个； $q = 0$ 时一个也没有。所以左边 $= mn + q$ 。右边 $⌊ mn + m f ⌋$ 也等于 $mn + q$ 。 $m = 3$ 时： $f < \frac{1}{3}$ 不进位； $\frac{1}{3} \leq f < \frac{2}{3}$ 时只有 $k = 2$ 进位； $f \geq \frac{2}{3}$ 时 $k = 1, 2$ 进位。

先看一道例题

例 1：两项合并

解方程 $⌊ x ⌋ + ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋ = 7$ 。

怎么看出来：

这是 $m = 2$ 的恒等式，左边就是 $⌊ 2 x ⌋$ 。

解：

由恒等式，方程等价于 $⌊ 2 x ⌋ = 7$ ，即 $7 \leq 2 x < 8$ ， $\frac{7}{2} \leq x < 4$ 。检查： $x = 3.5$ 时 $3 + 4 = 7$ ； $x = 3.9$ 时 $3 + 4 = 7$ ； $x = 4$ 时 $4 + 4 = 8$ ，不成立。

答案：

$\frac{7}{2} \leq x < 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$⌊ x ⌋ + ⌊ x + \frac{1}{m} ⌋ + \dots$ ，位移等距	用恒等式合并成 $⌊ m x ⌋$
只有 $⌊ x ⌋$ 和 $⌊ x + \frac{1}{2} ⌋$ 这种少数几项	合并，或按小数部分分段
形如 $⌊ \frac{x}{7} ⌋$ 与 $⌊ \frac{x}{8} ⌋$ 的方程	设一个取整值为 $k$ ，写 2 个区间求交（见进阶“不同分母”）
$⌊ x ⌋$ 与 $x$ 的一次式相等	用 $k \leq x < k + 1$ 限制整数 $k$ （见进阶“取整等于一次式”）
一串 $⌊ \frac{n + 2 ^{k - 1}}{2 ^{k}} ⌋$ 求和	写成相邻取整的差，错位相消（见进阶“错位相消”）

三、怎么用

看结构：位移是否等距。例如 $⌊ x ⌋ + ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋ = 3$ ，位移 $0, \frac{1}{2}$ 等距， $m = 2$ 。
用恒等式合并，不要展开讨论：左边等于 $⌊ 2 x ⌋$ ，方程变成 $⌊ 2 x ⌋ = 3$ 。
还原成双边不等式： $3 \leq 2 x < 4$ 。严格不等号不要写错。
写出 $x$ 的区间： $\frac{3}{2} \leq x < 2$ ，左端取得到，右端取不到。
挑点代回： $x = 1.5$ 时 $1 + 2 = 3$ ； $x = 1.9$ 时 $1 + 2 = 3$ ； $x = 2$ 时 $2 + 2 = 4$ ，不成立。

四、再做一道

例 2：三项合并

解方程 $⌊ x ⌋ + ⌊ x + \frac{1}{3} ⌋ + ⌊ x + \frac{2}{3} ⌋ = 10$ 。

怎么看出来：

位移 $0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ 等距，正好是 $m = 3$ 。

解：

方程等价于 $⌊ 3 x ⌋ = 10$ ，即 $10 \leq 3 x < 11$ ， $\frac{10}{3} \leq x < \frac{11}{3}$ 。检查： $x = 3.4$ 时 $3 + 3 + 4 = 10$ 。

答案：

$\frac{10}{3} \leq x < \frac{11}{3}$ 。

五、容易错在哪

不能把 $⌊ 2 x ⌋$ 写成 $2 ⌊ x ⌋$ 。小数部分不小于 $\frac{1}{2}$ 时，会多进位 $1$ 。
$x - 1 < ⌊ x ⌋$ 是严格不等号，写成 $\leq$ 可能多算一个整数。
恒等式要求位移是 $0, \frac{1}{m}, \dots, \frac{m - 1}{m}$ 全部出现；缺项或位移不等距时，不能直接套用。
不同分母的方程，一个整数 $k$ 往往对应一段区间，不要只写端点。

进阶：取整等于一次式

取整等于一次式：用区间限制整数

含取整的等式能变成 $x$ 的不等式。例如 $3 ⌊ x ⌋ = 2 x + 1$ 中， $⌊ x ⌋ = k$ 时 $x = \frac{3 k - 1}{2}$ ，再由 $k \leq x < k + 1$ 限制 $k$ 。

例 3：取整等于一次式

解方程 $3 ⌊ x ⌋ = 2 x + 1$ 。

怎么看出来：

右边不是整数也不要紧，设 $k = ⌊ x ⌋$ ， $x$ 就用 $k$ 表示了，再用区间限制 $k$ 。

解：

设 $k = ⌊ x ⌋$ ，则 $x = \frac{3 k - 1}{2}$ 。由 $k \leq \frac{3 k - 1}{2} < k + 1$ ：左边得 $k \geq 1$ ，右边得 $k < 3$ 。所以 $k = 1, 2$ ， $x = 1, \frac{5}{2}$ 。检查： $x = 1$ 时 $3 = 3$ ； $x = \frac{5}{2}$ 时 $6 = 6$ 。

答案：

$x = 1$ 或 $x = \frac{5}{2}$ 。

进阶：错位相消

恒等式的另一个用法：错位相消

$m = 2$ 时恒等式可写成 $⌊ x + \frac{1}{2} ⌋ = ⌊ 2 x ⌋ - ⌊ x ⌋$ 。一串这样的项相加， $⌊ 2 x ⌋$ 和下一项的 $⌊ x ⌋$ 会抵消，只剩首尾。

例 4：错位相消

求 $⌊ \frac{100 + 1}{2} ⌋ + ⌊ \frac{100 + 2}{4} ⌋ + ⌊ \frac{100 + 4}{8} ⌋ + ⌊ \frac{100 + 8}{16} ⌋ + \dots$ 的值。

怎么看出来：

第 $k$ 项是 $⌊ \frac{100}{2 ^{k}} + \frac{1}{2} ⌋$ ，带着 $\frac{1}{2}$ 的位移，提示用 $m = 2$ 的恒等式。

解：

由 $⌊ x + \frac{1}{2} ⌋ = ⌊ 2 x ⌋ - ⌊ x ⌋$ ，取 $x = \frac{100}{2 ^{k}}$ ，第 $k$ 项等于 $⌊ \frac{100}{2 ^{k - 1}} ⌋ - ⌊ \frac{100}{2 ^{k}} ⌋$ 。相加时中间项全部抵消， $k$ 很大时 $⌊ \frac{100}{2 ^{k}} ⌋ = 0$ ，所以和为 $⌊ 100 ⌋ - 0 = 100$ 。直接检查：各项依次为 $50, 25, 13, 6, 3, 2, 1, 0, \dots$ ，和为 $100$ 。

答案：

$100$ 。

进阶：不同分母

不同分母：设整数求区间的交

对 $⌊ \frac{x}{2} ⌋ = ⌊ \frac{x}{3} ⌋ + 1$ ，设 $k = ⌊ \frac{x}{3} ⌋$ ，把 2 个取整都还原成不等式，得到 2 个区间。两区间要有交集，就得到 $k$ 的有限范围，再逐个写出交集。解往往是若干段左端能取、右端取不到的半开区间。

例 5：不同分母的和

解方程 $⌊ \frac{x}{2} ⌋ + ⌊ \frac{x}{3} ⌋ = 5$ 。

怎么看出来：

位移不是等距，恒等式用不上。先用 $u - 1 < ⌊ u ⌋ \leq u$ 把 $x$ 夹在一小段，再逐段算。

解：

由 $⌊ u ⌋ \leq u$ ， $5 \leq \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{5 x}{6}$ ，得 $x \geq 6$ 。由 $⌊ u ⌋ > u - 1$ ， $5 > \frac{5 x}{6} - 2$ ，得 $x < \frac{42}{5}$ 。在 $[6, 8)$ 上， $⌊ \frac{x}{2} ⌋ = 3$ ， $⌊ \frac{x}{3} ⌋ = 2$ ，和为 $5$ ，都满足。在 $[8, \frac{42}{5})$ 上，第 1 项是 $4$ ，第 2 项是 $2$ ，和为 $6$ ，不满足。检查： $x = 7.9$ 时 $3 + 2 = 5$ ； $x = 8$ 时 $4 + 2 = 6$ 。

答案：

$6 \leq x < 8$ 。

进阶：整点函数值是整数

整点函数值是整数

取整问题的核心是“整数不能取中间的值”。同样的想法也用在整系数二次函数上。设 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，把它写成 $f (x) = \frac{2 - x}{2} f (0) + \frac{x}{2} f (2) - a x (2 - x)$ ，展开可以验证。前两项的权重 $\frac{2 - x}{2}, \frac{x}{2}$ 在 $[0, 2]$ 上非负且和为 $1$ ，所以若 $f (0), f (2)$ 都是正整数，即都 $\geq 1$ ，前两项之和就 $\geq 1$ 。又 $x (2 - x) \leq 1$ ，所以 $a > 0$ 时 $f (x) \geq 1 - a$ 。由此可知： $a = 1$ 时 $f (x) \geq 0$ ，首项系数为 $1$ 的整系数二次函数若在 $0, 2$ 处都为正，在 $[0, 2]$ 上就不会取负值，也就不可能在 $(0, 2)$ 内有 2 个不同实根。 $(x - 1)^{2}$ 说明重根是可能的。

真题

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一试训练题F3

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参数限制下的二次最值和系数最值：把约束写成精确范围，再一层层化成一个变量

先把约束翻译成准确的范围或等式，每次只处理一个变量。每一层都记下等号何时成立，最后要有一组值让所有等号同时成立。

完整讲解 · 例题 · 可练 25 题

一、是什么

约束先写成准确的区间

不等式约束往往就是一个区间。例如 $a > 1$ 时， $(x - 1) (x - a) \leq 0$ 就是 $x \in [1, a]$ 。这个区间随 $a$ 移动，后面所有比较都要在这个区间上做，不能用全体实数上的结论。

受限二次最值：比较顶点和端点

配方 $f (x) = (x - h)^{2} + k$ ， $x = h$ 处是图象的最低点，叫顶点。顶点在区间内，最小值才是 $k$ ；顶点在区间外，最小值在离顶点最近的端点。例如 $(x - 1)^{2} - 1$ 在 $[t, t + 1]$ 上： $t + 1 \leq 1$ 时最小值在右端点， $t \geq 1$ 时在左端点， $0 < t < 1$ 时在顶点。区间含参数时，就按顶点进入和离开区间的值来分情况。

先看一道例题

例 1：区间随参数移动

求 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 在 $[t, t + 1]$ 上的最小值。

怎么看出来：

对称轴 $x = 1$ 固定，区间在动，所以按顶点在区间右侧、内部、左侧分情况。

解：

$f (x) = (x - 1)^{2} - 1$ 。 $t + 1 \leq 1$ ，即 $t \leq 0$ ：区间在顶点左侧，函数递减，最小值 $f (t + 1) = t^{2} - 1$ 。 $0 < t < 1$ ：顶点在区间内，最小值 $- 1$ 。 $t \geq 1$ ：函数递增，最小值 $f (t) = t^{2} - 2 t$ 。检查： $t = 0$ 时 $[0, 1]$ 上最小值 $f (1) = - 1$ ，与公式 $t^{2} - 1 = - 1$ 一致； $t = 2$ 时 $f (2) = 0 = 2^{2} - 2 \cdot 2$ 。

答案：

$t \leq 0$ 时 $t^{2} - 1$ ； $0 < t < 1$ 时 $- 1$ ； $t \geq 1$ 时 $t^{2} - 2 t$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$x$ 满足一个含参数的不等式，求二次式的最小值	解出区间，比较顶点和端点
二次函数在闭区间上的最值，区间或对称轴含参数	按顶点在区间左、内、右分情况
二次方程在某区间有根，求系数平方和的最小值	把根当常数，系数满足直线方程，用柯西不等式（见进阶“有根时系数的最小值”）
$∣ a x + b ∣ \leq M$ 在区间上恒成立，求 $ab$ 等的最值	用两端的函数值作新变量（见进阶“线性函数的区间约束”）
$a x^{2} + b x + c \geq 0$ 恒成立，求比值的最小值	判别式给 $c$ 的下界，再令 $t = \frac{b}{a}$ （见进阶“恒成立用判别式消元”）

三、怎么用

把约束写成准确的区间。例如 $x (x - 3) \leq 0$ 就是 $x \in [0, 3]$ ，求 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ 的最小值。
配方找顶点： $f (x) = (x - 1)^{2} + 2$ ，顶点在 $x = 1$ 。
比较顶点和区间： $1$ 在 $[0, 3]$ 内，所以最小值是 $2$ 。
顶点在区间外时，取离顶点最近的端点。若区间换成 $[2, 3]$ ，顶点在左侧，最小值是 $f (2) = 3$ ；分情况解出的参数要回到对应情况核对。
写出取到最小值的点并代回： $x = 1$ 时 $1 \times (- 2) \leq 0$ 满足约束， $f (1) = 2$ 。

四、再做一道

例 2：由最小值反求参数

设 $a > 1$ ， $x$ 满足 $(x - 1) (x - a) \leq 0$ ，且 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 的最小值为 $- \frac{15}{4}$ ，求 $a$ 。

怎么看出来：

约束就是 $x \in [1, a]$ 。顶点 $x = 2$ 是否进入区间，决定最小值的样子。

解：

$g (x) = (x - 2)^{2} - 4$ 。若 $a \geq 2$ ，顶点在区间内，最小值为 $- 4 \neq = - \frac{15}{4}$ ，不符合。若 $1 < a < 2$ ，函数在 $[1, a]$ 上递减，最小值 $g (a) = a^{2} - 4 a = - \frac{15}{4}$ ，即 $4 a^{2} - 16 a + 15 = 0$ ， $(2 a - 3) (2 a - 5) = 0$ ，得 $a = \frac{3}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$ 。只有 $a = \frac{3}{2}$ 在 $1 < a < 2$ 内。检查： $a = \frac{5}{2}$ 时区间含顶点，最小值是 $- 4$ ，确实不符合； $a = \frac{3}{2}$ 时 $g (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 6 = - \frac{15}{4}$ 。

答案：

$a = \frac{3}{2}$ 。

五、容易错在哪

不能用全体实数上的顶点代替受限最值。顶点不在允许范围内时，它的函数值取不到。
每一层取等号的条件可能互相冲突。只有写出一组同时满足的值，这个最值才成立。
不要忘记题目原有的限制，比如系数不为零、 $a > 0$ 。等号点违反限制时，最值要重新找。
分情况解出的参数要回到该情况的前提中核对，否则可能把不属于这一情况的值算进去。

进阶：有根时系数的最小值 · 先修：柯西不等式

存在零点：把零点固定，参数看作变量

若 $x^{2} + a x + b = 0$ 在某区间有根 $x_{0}$ ，就有 $a x_{0} + b = - x_{0}^{2}$ 。固定 $x_{0}$ ，这是 $(a, b)$ 平面上的一条直线。求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值，就是求原点到这条直线距离的平方。由柯西不等式 $(a x_{0} + b)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (x_{0}^{2} + 1)$ ，得 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{x _{0}^{4}}{x _{0}^{2} + 1}$ 。这里柯西不等式可以这样看：右边减左边等于 $(a - b x_{0})^{2} \geq 0$ 。

再对输入优化：一次只动一个

上一步得到的下界还含 $x_{0}$ ，要让它在允许的区间上取最小。令 $s = x_{0}^{2} \geq 0$ 。 $s = 0$ 时 $\frac{s ^{2}}{s + 1} = 0$ ； $s > 0$ 时它等于 $\frac{s}{1 + \frac{1}{s}}$ ， $s$ 增大时分子变大、分母变小，所以它在 $s \geq 0$ 上递增。因此 $s$ 取值范围的左端点能取到时，最小值就在那里；左端点取不到时，最小值不存在，要比较边界。最后还要确认 $x_{0}$ 和 $(a, b)$ 的等号能同时取到，并符合题目的其他限制，比如系数不能为零。

例 3：有根时系数的最小值

方程 $a x^{2} + x + b = 0$ 在 $[1, 2]$ 内至少有一个实根，求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值。

怎么看出来：

不要讨论根的分布。把根 $x_{0}$ 当常数， $(a, b)$ 就在一条直线上，要求离原点最近的点。

解：

设 $x_{0} \in [1, 2]$ 是根，令 $s = x_{0}^{2} \in [1, 4]$ ，则 $a s + b = - x_{0}$ 。由柯西不等式， $x_{0}^{2} = (a s + b)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (s^{2} + 1)$ ，所以 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{s}{s ^{2} + 1} = \frac{1}{s + \frac{1}{s}}$ 。当 $v > u \geq 1$ 时， $(v + \frac{1}{v}) - (u + \frac{1}{u}) = (v - u) (1 - \frac{1}{uv}) > 0$ ，所以 $s + \frac{1}{s}$ 在 $[1, 4]$ 上递增，下界在 $s = 4$ 时最小，等于 $\frac{4}{17}$ 。等号要求 $x_{0} = 2$ 且 $a = 4 b$ ，代入 $4 a + b = - 2$ 得 $b = - \frac{2}{17}, a = - \frac{8}{17}$ 。检查：方程化为 $8 x^{2} - 17 x + 2 = 0$ ，根是 $2, \frac{1}{8}$ ， $2$ 在 $[1, 2]$ 内， $a^{2} + b^{2} = \frac{68}{289} = \frac{4}{17}$ 。

答案：

最小值为 $\frac{4}{17}$ 。

进阶：线性函数的区间约束

线性函数的区间约束：只看两端

一次函数在区间上的最值在端点，所以 $∣ a x + b ∣ \leq M$ 在 $[p, q]$ 上恒成立，等价于 $∣ f (p) ∣ \leq M$ 且 $∣ f (q) ∣ \leq M$ 。设 $f (p), f (q)$ 为新变量，原来的 $a, b$ 用它们表示，约束就变成一个正方形，目标可以逐个变量优化。

例 4：线性约束下的平方和

当 $x \in [0, 1]$ 时恒有 $∣ a x + b ∣ \leq 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值。

怎么看出来：

一次函数只需看两端。用两端的函数值作新变量，约束是简单的范围。目标含 2 个变量，一次只动一个。

解：

设 $p = f (0) = b, q = f (1) = a + b$ ，条件等价于 $∣ p ∣ \leq 1, ∣ q ∣ \leq 1$ 。 $a = q - p$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = (q - p)^{2} + p^{2}$ 。先固定 $p$ 优化 $q$ ： $∣ q - p ∣ \leq 1 + ∣ p ∣$ ，等号在 $q$ 与 $p$ 异号且 $∣ q ∣ = 1$ 时成立（ $p = 0$ 时 $q = \pm 1$ 都可以）。于是目标 $\leq (1 + ∣ p ∣)^{2} + p^{2}$ ，它随 $∣ p ∣$ 增大而增大， $∣ p ∣ \leq 1$ ，所以不超过 $4 + 1 = 5$ 。两层等号同时成立： $p = - 1, q = 1$ ，即 $a = 2, b = - 1$ ， $f (x) = 2 x - 1$ 在 $[0, 1]$ 上的值在 $[- 1, 1]$ 内， $a^{2} + b^{2} = 5$ 。

答案：

最大值为 $5$ 。

进阶：恒成立用判别式消元 · 先修：均值不等式

恒成立用判别式消元

设 $a \neq = 0$ ， $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 对全体实数成立，等价于 $a > 0$ （开口向上）且 $Δ = b^{2} - 4 a c \leq 0$ ，即 $c \geq \frac{b ^{2}}{4 a}$ ，这就给了 $c$ 的最小值。若题目允许 $a = 0$ ，还要加上 $a = b = 0, c \geq 0$ 这种常数函数的情况。若目标对 $c$ 单调，先把 $c$ 换成这个最小值；目标如果上下次数相同，再令 $t = \frac{b}{a}$ ，就变成一个变量。

例 5：判别式消元后化成一个变量

$a \neq = 0$ ， $b > 0$ ， $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 对全体实数成立，求 $\frac{a + c}{b}$ 的最小值。

怎么看出来：

恒成立给出 $a > 0$ 和 $c \geq \frac{b ^{2}}{4 a}$ 。目标随 $c$ 递增，先把 $c$ 换成下界。上下次数相同，再令 $t = \frac{b}{a}$ 。

解：

$\frac{a + c}{b} \geq \frac{a + \frac{b ^{2}}{4 a}}{b}$ 。令 $t = \frac{b}{a} > 0$ ，右边等于 $\frac{1}{t} + \frac{t}{4}$ 。由均值不等式（ $p, q > 0$ 时 $p + q \geq 2 pq$ ）得 $\frac{1}{t} + \frac{t}{4} \geq 2 \frac{1}{4} = 1$ ，等号在 $t = 2$ 。两层的等号同时成立： $b = 2 a$ ， $c = \frac{b ^{2}}{4 a} = a$ 。取 $a = c = 1, b = 2$ ，函数是 $(x + 1)^{2} \geq 0$ ， $\frac{a + c}{b} = 1$ 。

答案：

最小值为 $1$ 。

真题

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误区对照

容易误以为

二次方程 $f (x) = x^{2} - m x + 1 = 0$ 的两个实根均在区间 $(0, 2)$ 内，只列端点与判别式条件 $Δ = m^{2} - 4 \geq 0$ 、 $f (0) = 1 > 0$ 、 $f (2) = 5 - 2 m > 0$ ，解得 $2 \leq m < \frac{5}{2}$ 。

应当这样想

两根同在 $(0, 2)$ 内必须同时满足四条约束： $Δ = m^{2} - 4 \geq 0$ 、对称轴 $0 < \frac{m}{2} < 2$ 、 $f (0) = 1 > 0$ 、 $f (2) = 5 - 2 m > 0$ ，联立得 $2 \leq m < \frac{5}{2}$ ；但若只列 $Δ \geq 0, f (0) > 0, f (2) > 0$ 而不控制对称轴，当 $m = - 3$ 时 $Δ = 5 > 0, f (0) = 1 > 0, f (2) = 11 > 0$ ，两根却是负根 $\frac{- 3 \pm 5}{2} \in (- 3, 0)$ ，根本不在 $(0, 2)$ 内。

为什么

端点同号 $a f (p) > 0, a f (q) > 0$ 结合 $Δ \geq 0$ 只能保证两实根同时落在区间 $(p, q)$ 内部或同时落在 $(p, q)$ 同侧外部；必须加上对称轴 $p < - b / (2 a) < q$ 才能把两根锁定在 $(p, q)$ 之间。

容易误以为

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ 在闭区间 $[0, 3]$ 内恰有一实根，直接照搬开区间判据列 $f (0) f (3) < 0$ ，即 $(a^{2} - 4) (a^{2} - 6 a + 5) < 0$ ，解得 $a \in (- 2, 1) \cup (2, 5)$ 。

应当这样想

因式分解原方程得 $(x - a + 2) (x - a - 2) = 0$ ，两互异实根为 $x_{1} = a - 2, x_{2} = a + 2$ （间距恒为 $4 > 3$ ，不可能两根同在 $[0, 3]$ 内）。当 $f (0) f (3) < 0$ 即 $a \in (- 2, 1) \cup (2, 5)$ 时，确有一根严格落在 $(0, 3)$ 内、另一根在 $[0, 3]$ 外；此外对闭区间 $[0, 3]$ 必须单独把端点零点 $f (0) = 0$ 或 $f (3) = 0$ 代回检验：当 $a = - 2$ 时两根为 $- 4, 0$ （仅 $0 \in [0, 3]$ ）；当 $a = 2$ 时两根为 $0, 4$ （仅 $0 \in [0, 3]$ ）；当 $a = 1$ 时两根为 $- 1, 3$ （仅 $3 \in [0, 3]$ ）；当 $a = 5$ 时两根为 $3, 7$ （仅 $3 \in [0, 3]$ ）。四个临界值均符合题意，故完整解集为闭区间并集 $a \in [- 2, 1] \cup [2, 5]$ 。

为什么

$f (p) f (q) < 0$ 表示端点函数值异号，只保证开区间 $(p, q)$ 内部至少有一个奇重变号实根；遇到闭区间 $[p, q]$ （或半开区间）有一根恰好落在端点 $p, q$ （即 $f (p) f (q) = 0$ ）以及区间内偶重切根（ $Δ = 0$ ）时，必须把临界参数逐一代回原方程核对全部根的位置。

容易误以为

解方程 $∣ x - 2∣ = 2 x + 1$ ：去绝对值解 $x - 2 = 2 x + 1$ 得 $x = - 3$ ，解 $- (x - 2) = 2 x + 1$ 得 $x = \frac{1}{3}$ ，故方程有两个实根 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

应当这样想

去绝对值时必须同时限制所在分段（或要求右端 $2 x + 1 \geq 0 ⟺ x \geq - \frac{1}{2}$ ）。当 $x = - 3$ 时，右端 $2 (- 3) + 1 = - 5 < 0$ ，而左端 $∣ - 5∣ = 5 \neq = - 5$ ，是增根；只有 $x = \frac{1}{3} \in [- \frac{1}{2}, 2]$ 满足原方程，故唯一实根为 $x = \frac{1}{3}$ 。

为什么

将 $∣ A ∣ = B$ 拆成 $A = \pm B$ 等价于两边平方 $A^{2} = B^{2}$ ，隐含了 $B \geq 0$ 的前提；凡未核对分段区间或右端非负性，都会把使 $B < 0$ 的代数根误收进来。

容易误以为

求 $f (x) = min {x + 2, 4 - x, 2 x - 1}$ 在 $R$ 上的最大值：令前两项相等 $x + 2 = 4 - x$ 得 $x = 1$ ，代入前两项得 $3$ ，故最大值为 $3$ 。

应当这样想

在 $x = 1$ 处，第三项为 $2 (1) - 1 = 1 < 3$ ，此时 $f (1) = min {3, 3, 1} = 1 \neq = 3$ 。正确做法是比较单调递增项 $min {x + 2, 2 x - 1}$ 与单调递减项 $4 - x$ 的平衡点：令 $2 x - 1 = 4 - x$ 得 $x = \frac{5}{3}$ ，此时三项分别为 $\frac{11}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3}$ ，最小者为 $\frac{7}{3}$ ；对 $x \leq \frac{5}{3}$ 有 $f (x) \leq 2 x - 1 \leq \frac{7}{3}$ ，对 $x \geq \frac{5}{3}$ 有 $f (x) \leq 4 - x \leq \frac{7}{3}$ ，故最大值为 $\frac{7}{3}$ 。

为什么

多个函数取 $min$ 时，任意两项相等的交点只保证那两项平衡；只有当其余所有项在该点处都不小于该交点公共值时，该公共值才能作为该点处的函数值并成为下包络的最大值。

容易误以为

设 $x = - 2.3$ ，认为其整数部 $⌊ x ⌋ = - 2$ 、小数部 ${x} = - 0.3$ （或 $0.3$ ）。

应当这样想

高斯取整 $⌊ x ⌋$ 定义为不超过 $x$ 的最大整数，因 $- 3 \leq - 2.3 < - 2$ ，故 $⌊ - 2.3 ⌋ = - 3$ ；小数部定义为 ${x} = x - ⌊ x ⌋ = - 2.3 - (- 3) = 0.7 \in [0, 1)$ 。

为什么

小数部分 ${x}$ 对一切实数（含负数）都必须落在半开区间 $[0, 1)$ 内；在负半轴上， $⌊ x ⌋$ 是向左（更小方向）取整，而不是向零截断。

容易误以为

解方程 $⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1/2 ⌋ = 3$ ：误以为 $⌊ x + 1/2 ⌋ = ⌊ x ⌋$ ，得 $2 ⌊ x ⌋ = 3$ ，因 $⌊ x ⌋$ 为整数故判定无解。

应当这样想

由 $m = 2$ 的埃尔米特恒等式， $⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1/2 ⌋ = ⌊ 2 x ⌋$ ，故原方程等价于 $⌊ 2 x ⌋ = 3 ⟺ 3 \leq 2 x < 4 ⟺ x \in [\frac{3}{2}, 2)$ （此时 $⌊ x ⌋ = 1$ ，而 $x + 1/2 \in [2, 5/2)$ 使 $⌊ x + 1/2 ⌋ = 2$ ，和恰为 $3$ ）。

为什么

当小数部分 ${x} \in [1/2, 1)$ 时，加上 $1/2$ 会发生进位使 $⌊ x + 1/2 ⌋ = ⌊ x ⌋ + 1$ ，从而两项之和可以取到一切奇整数。

容易误以为

求 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值：配方得 $f (x) = (x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ ，故最小值为 $1$ 。

应当这样想

抛物线对称轴 $x = 2$ 不在闭区间 $[0, 1]$ 内。因 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2]$ 上严格递减，故在 $[0, 1]$ 上的最小值在右端点 $x = 1$ 处取到，为 $f (1) = 2$ （最大值在左端点 $x = 0$ 处取到，为 $f (0) = 5$ ）。

为什么

配方得到的顶点纵坐标只是全实数域 $R$ 上的全局最值；在受限区间 $[p, q]$ 上，若对称轴落在区间外部，函数在该区间单调，最值必在离对称轴最近或最远的端点取到。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 113 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。