积分的应用

定积分累积带符号的高度，几何面积必须使用非负截线长度。连续函数与横轴之间的面积是 ${\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$，不能一概去掉绝对值。例：$f(x)=x$ 在 $[-1,1]$ 上的积分为 $0$，与横轴围成的两块面积之和却为 $1$。求面积前先确认上下边界，必要时在零点处分段。

两边界所夹面积应在交点确定的区间内积上减下；最小值或最大值拼成的边界还要找切换点。例：$0\le y\le \min \{x,2-x\}$ 只在 $0\le x\le 2$ 非空，并在 $x=1$ 换边界，面积为 ${\int }_0^{1}x\mathrm{d}x+{\int }_1^2(2-x)\mathrm{d}x=1$。参数移动后，要重新确认积分端点是否越过切换点。

连续被积函数在区间上有原函数 $F$ 时，${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$。先求导核原函数，再代两端，常比只算一个数可靠。例：${\int }_1^3(2x+1)\mathrm{d}x=[x^2+x{]}_1^3=10$。根式端点可在开区间核导数并用连续延拓取端值，不能因导数表达式在端点含零分母就丢掉有限积分。

横向与纵向截线描述同一区域，所得面积应相同，但边界函数和积分变量要一起改变。例：$0\le y\le 1,y^2\le x\le 1$ 的面积既是 ${\int }_0^1(1-y^2)\mathrm{d}y$，也是 ${\int }_0^1\sqrt{x}\mathrm{d}x$，均为 $2/3$。选择边界更少分段、逆函数更简单的方向，换向时不能沿用原来的上下端点。

$y=\sqrt{r^2-x^2}$ 在 $[-r,r]$ 上是半径 $r>0$ 的上半圆，因此全区间积分为半圆面积。例：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=\pi /4$。只截取一部分时，可用扇形减三角形，但必须按实际截线辨明应减哪一个三角形；弦截弓形与竖直截线围成的区域不同。

对称区间 $[-a,a]$ 上，连续奇函数的积分为零，连续偶函数的积分为正半段的两倍，其中 $a>0$。若 $f(x)+f(-x)=2c$，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2ac$。例：${\int }_{-2}^2(x^3+3)\mathrm{d}x=12$；被积函数整体既非奇也非偶，不能把常数项一起消去。

若高度 $h$ 处的平行截面面积为连续函数 $A(h)$，则高度 $a$ 到 $b$ 间的体积是 ${\int }_a^{b}A(h)\mathrm{d}h$，量纲为长度的三次方。例：$0\le h\le 3$ 时 $A(h)=9-h^2$，体积为 $[9h-h^3/3{]}_0^3=18$。求截面积前须认清给出的是边、半径还是对角线；正方形对角线为 $d$ 时面积是 $d^2/2$，不能直接取 $d^2$。

严格递增连续函数的单位区间积分可由端点值严格夹住，再逐项相加估计离散和。例：$n\ge 1$ 时 $n^2/2<{\sum }_{k=1}^{n}k<(n^2+2n)/2$；$n=4$ 给 $8<10<12$。比值趋近某常数不表示有限下标能取等；证明最佳统一界须先证每个下标成立，再用逼近排除更小或更大的候选常数。