2008 年辽宁预赛 · 第 15 题

解答

不妨取 $A=(0,0),B=(1,0),C=(u,v)$，$v>0$，外心为 $O=(1/2,t)$。记 $w=u^2+v^2$，由 $OA=OC$，

设 $B^{\prime }=\lambda C$、$C^{\prime }=(x,0)$。点 $B^{\prime }$ 在 $BO$ 上给

点 $C^{\prime }$ 在 $CO$ 上给

由于 $AP=AQ$，$AO$ 为弦 $PQ$ 的垂直平分线，所以 $(B^{\prime }-C^{\prime })\cdot AO=0$。代入上式及外心关系，得 $x=\lambda w$。消去 $x,\lambda$ 后，

即 $4tvw-4t^2{v}^2=v^2$。再代 $2tv=w-u$，化为

因 $w=u^2+v^2$，故 $w^2=w$。三角形非退化使 $w>0$，所以 $w=1$，从而