2016 年湖南预赛 · 第 15 题

解答

定义域为 $x>0$。(1) $m=-2$ 时 $f(x)=x(\ln x+x-1)$。括号内导数 $1/x+1>0$，且在 $x=1$ 为零，故唯一零点为 $\boxed{x=1}$。

(2) $f\prime (x)=\ln x-mx$，在两个极值点有 $\ln x_i=m{x}_i$。令 $r=x_2/x_1>1$，两式相减得 $m{x}_1=\ln r/(r-1)$，于是 $\ln (x_1{x}_2)=(r+1)\ln r/(r-1)$。设 $h(r)=\ln r-2(r-1)/(r+1)$，有 $h(1)=0$、$h\prime (r)=(r-1{)}^2/[r(r+1{)}^2]>0$。故 $\ln (x_1{x}_2)>2$，即 $\boxed{x_1{x}_2>e^2}$。