2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

解答

记公共函数值为t。三个单调分支分别是 $(0,3]$、$(3,9]$、$(9,+\infty )$；前两支函数值均非负，第二支不超过1，第三支严格小于1。要有三个不同原像，必须 $0<t<1$：t=0时前两支的原像合为3，t=1时第三支没有原像。在 $0<t<1$ 时，三个原像恰为

故 $abc=9(4-t{)}^2$，其在该开区间严格递减，从144趋向81；每个中间值均由唯一t达到。因此 $\boxed{abc\in (81,144)}$。