2012 年天津预赛 · 第 11 题

两题都先把有限表达式拆成下标相差固定步长的相邻因子，成批约消后只保留首尾信息。极限是在这条精确有限式建立之后才进入的。

一个直接给乘积；另一个先把对数和还原成乘积，并在最后回到对数。不能仅看到对数就放弃检查因子的相邻结构。

较简单的乘积题先练习把相邻约消写成精确端点式；递推题在找到相邻倒数差以后，也要用有限端点式判断整个尾部。关键是保留尚未消掉的末端项，才有依据讨论边界。

前者约消乘法因子；后者先从递推恒等式构造减法项，并要区分每个有限部分和的严格界与其逼近的界。

前题展示先对有限前 n 项乘积作平方差因式分解与相邻约分（乘积望远镜）、化为只含首尾因子的有理闭式后再取极限；后题将同样的“先算有限闭式再取极限”思想迁移到有限部分和的裂项相消中，进一步把精确部分和闭式放入双侧严格不等式中夹逼定出常数，并提取二阶余项的极限。

前题是利用平方差因式分解化简有限乘积并求极限，后题是利用相邻平方倒数差化简有限部分和，并延伸到控制余项阶数与逐项验证有限下标的严格不等式。

逐项严格大于某个界并不保证极限仍严格大于它，应分开检验每个有限下标和极限处的严格性。

有限乘积给出贴近常数的具体序列；极限保序题比较两列，要用共同阈值证明非严格关系，并用可取等的例子检查严格性。