2008 年湖南预赛 · 第 18 题

解答

（1）设 $P=(u,v)$，两切点弦为 $ux/25+vy/9=1$。由 $5u-7v=70$，可知它恒过 $\boxed{Q=(25/14,-9/10)}$，因为代入左端正是 $(5u-7v)/70$。原直线全部点都有 $u^2/25+v^2/9\ge 4900/(625+441)>1$，所以两条切线确存在且不同。（2）当切点弦平行于原直线时，其方向可取 $\mathbf{d}=(7,5)$。令 $T=\mathrm{diag}(1/25,1/9)$，有 $Q^{T}T\mathbf{d}=7/14-1/2=0$。将弦点写为 $Q+t\mathbf{d}$，代入椭圆后一次项为零，两个不同实根互为相反数。因此两端点关于 $Q$ 对称，即 $\boxed{Q\text{ 平分 }MN}$。