2009 年河北预赛 · 第 16 题

解答

（1）记 $R=2\sqrt{2}$，写 $P=A+R\mathbf{u}$，$|\mathbf{u}|=1$。设 $C=A+t\mathbf{u}$。由折痕上的等距条件 $CP=CB$，平方整理得 $t=(R^2-4)/(2(R-2u_x))=2/(R-2u_x)$。分母正，且 $t<R$，所以 $C$ 在线段 $AP$ 内，$CA+CB=R$。反过来，对任意满足此焦距和的点 $C$，沿射线 $AC$ 延长到圆上取 $P$，则 $CP=R-CA=CB$，因此 $C$ 正在相应折痕上。故轨迹是 $\boxed{E:x^2/2+y^2=1}$。（2）该椭圆 $a=\sqrt{2},b=1,e=1/\sqrt{2}$。过右焦点、方向角为 $\theta$ 的弦长为 $L_{\theta }=\sqrt{2}/(1-{\cos }^2\theta /2)$，由两焦半径公式相加得到。两条相互垂直的焦弦长分别为 $L_{\theta },L_{\theta +\pi /2}$。焦点在椭圆内，四边形的这两条对角线相交且垂直，面积为 $L_{\theta }{L}_{\theta +\pi /2}/2=1/(1/2+{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta /4)$。由 $0\le {\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \le 1/4$，得 $\boxed{S_{\min }=16/9,S_{\max }=2}$。