2010 年湖北预赛 · 第 5 题

解答

正性和约束给 $0<z<1$，且 $2xy\le x^2+y^2=1-z^2$。因此 $S\ge (1+z{)}^2/[z(1-z^2)]=(1+z)/[z(1-z)]$。设右边为g(z)，其导数符号由 $z^2+2z-1$ 决定，故在 $z=\sqrt{2}-1$ 取得唯一最小值 $\boxed{3+2\sqrt{2}}$。此时取 $x=y=\sqrt{\sqrt{2}-1}$ 可同时使 $2xy=x^2+y^2$ 取等号，满足约束。