2012 年辽宁预赛 · 第 4 题

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的右焦点为 $F$。过点 $F$ 作与 $x$ 轴垂直的直线 $\ell$，交两条渐近线于 $A,B$ 两点，$P$ 是 $\ell$ 与双曲线的一个交点。设 $O$ 为坐标原点，若有实数 $m,n$ 使得 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，且 $mn=\frac{2}{9}$，则该双曲线的离心率为（ ）。
(A) $\frac{3\sqrt{2}}{4}$  (B) $\frac{9}{8}$
(C) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$  (D) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$