2015 年河北预赛 · 第 13 题

解答

原关系给 $x>y>0$。令 $t=y/x\in (0,1)$，有 $x^2=(1-t)/(1+t^3)$，$y^2=t^2(1-t)/(1+t^3)$。不等式等价于 $\lambda \le (1-x^2)/y^2=(1+t^2)/[t(1-t)]$。令 $L=2+2\sqrt{2}$，$t_0=\sqrt{2}-1$，则 $1+t^2-Lt(1-t)=(3+2\sqrt{2})(t-t_0{)}^2\ge 0$。因此 $L$ 对所有原约束成立。取 $t=t_0$、$x=\sqrt{(1-t)/(1+t^3)}$、$y=tx$ 即达到等号，任何 $\lambda >L$ 都失败。所以最大值为 $\boxed{2+2\sqrt{2}}$。