同一骨架 2008 年天津预赛 第 3 题 · P009517
把边上的点写成顶点位置的加权组合，再把构造直线上的点与三角形中心的标准权重比较，就能将“经过哪个中心”变成系数关系。边分比先应正确翻译；周长平分和中点反射产生的权重，不能直接当成面积平分的权重。
一题直接把目标点写成两个边上点的凸组合，另一题先恢复反射点和中位线交点的位置，再比较直线方向；正系数还能核点在线段内部。
培玉 · 一试
2016 年山西预赛 · 第 10 题
F3解答题平面几何综合
在 中， 分别是边 上的点，且满足
证明：线段 经过 的重心。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把边上点写为从 出发的比例。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
条件会使重心恰好成为两点的一个凸组合，既证明共线，也证明在这条线段上。
解答
以 为原点，设 、，其中 。题设等价于
原三角形重心 满足
两个系数均为正、和等于1，所以 是 的内分点。因此
复核
正系数和为1给出的是线段内点，不只是所在直线上的点。若某个点取到B或C，系数仍为正且另一系数由题设确定；M=A或N=A时原分式无定义，本来就不在题设内。
方法总结
边比条件若能写成倒数和，可试把目标重心表示成两位置向量的凸组合，顺带处理线段而非直线。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
边比的倒数和须转成位置向量的权重关系；证明目标为两点正系数且和为一的凸组合，才能保证经过重心的是线段，而不仅是无限延长的直线。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用基点和线性组合表示位置、用权重表示重心、内心等
联系 · 1 条
已记下，谢谢！