培玉 · 一试
2024 年山东预赛
F2填空题空间角与距离
正四棱锥 中， 分别是 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值是 。则直线 夹角的余弦值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
建立以正方形中心为原点的空间坐标系，二面角条件只用于确定高与半边长之比。
解答
不妨令底面顶点
顶点 。垂直于边 的截面给出二面角正切为 ，故 。于是
方向向量可取
二者点积为 ，模长均为 ，故夹角余弦为
复核
整体缩放不改变直线夹角，故把底面半边长取为 不失一般性。
方法总结
正棱锥的二面角可在“顶点、底面中心、边中点”截面中读取，随后坐标点积即可求异面直线夹角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先由二面角正切确定棱锥高，再列中点方向向量计算数量积，是标准空间角模型。
已记下，谢谢！