培玉 · 一试

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2025 年云南预赛

三元立方方程组下的乘积最大值

F2填空题数论

若正整数 $x, y, z$ 满足方程组

{x^{3} - y^{3} - z^{3} = 3 x yz, x^{2} = 11 (y + z),

则 $x yz$ 的最大值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

识别三次恒等式并以正性排除二次因子，立即得x=y+z=11，再取最接近的两个整数。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：作差后证明非负

专题卡：添项配积与因数配对、排序限界与有限分类