培玉 · 一试

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2010 年天津预赛 · 第 9 题

F3解答题平面几何综合

（16 分）设 $△ A BC$ 的外心、内心分别为 $O, I$ ， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 内的旁心分别为 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 。证明：

(1)
$△ I_{1} I_{2} I_{3}$ 为锐角三角形；
(2)
若 $△ I_{1} I_{2} I_{3}$ 的外心为 $O^{'}$ ，则 $O^{'}, O, I$ 三点共线。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

内外角平分线互相垂直，使旁心三角形的垂心和三高垂足都变成原图已有点；中心共线随即转成九点圆心的中点关系。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：三角形的内角范围