2021 年福建预赛

解答

设 $AD=d>0$。对三角形 $ABD$ 用余弦定理，得

其根为 $2$、$11/2$，结合 $d<5$ 得 $AD=2$。

令 $\mathbf{u}=\overrightarrow{AB}/5$、$\mathbf{v}=\overrightarrow{AD}/2$，则二者为单位向量，且 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=3/4$。由于普通角在 $[0,\pi ]$ 内的余弦一一对应，题中的等角条件等价于

所以 $\overrightarrow{AC}$ 垂直于 $\mathbf{u}-\mathbf{v}$。又 $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})=0$，两单位方向不同，故在所给平面内可写成

由 $A{C}^2=14$ 及 $|\mathbf{u}+\mathbf{v}{|}^2=2+2\cdot 3/4=7/2$，得 $k^2=4$，即 $k=\pm 2$。比较两独立基向量的系数，得到

下面验证两个符号都能形成题目要求的四边形。取

$k=2$ 时取 $C=(7/2,\sqrt{7}/2)$，得到非退化凸四边形；$k=-2$ 时取 $C=(-7/2,-\sqrt{7}/2)$，得到简单凹四边形。两种构型均有 $AC=BD=\sqrt{14}$、$AD=2<5$，且单位向量投影关系保证所给两普通角相等。因此两值均可取，所求取值集合为