2015 年湖北预赛 · 第 7 题

解答

设底面中心为 $O$，$AB$ 中点为 $M$，棱锥高为 $h$。正三角形的外接圆半径为 $OA=6/\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，故

底面积为 $9\sqrt{3}$，所以 $V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}$。 每个侧面底边上的高为 $PM=\sqrt{21-3^2}=2\sqrt{3}$，侧面积各为 $6\sqrt{3}$， 总表面积 $S=9\sqrt{3}+3\cdot 6\sqrt{3}=27\sqrt{3}$。 以内切球球心 $I$ 为顶点、四个面为底把原棱锥分成四个小棱锥，其高均为半径 $r$， 因此 $V=rS/3$，得到 $\boxed{r=3V/S=1}$。 三个侧面全等，按对称性球心在 $PO$ 上；$IO=1<PO=3$，所得半径与内部位置一致。